题型专练02-新高考开放性试题（解析版）

新高考开放性试题题型专练021．关于茎叶图的说法正确的是A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大【答案】ACD【解析】根据选项依次求出甲的极差，甲的中位数，乙的众数，甲、乙的平均数，进而对选项进行判断即可．由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为，故A正确；将甲数据按从小到大的顺序排列之后，其中间位置的两个数为22，24，所以甲的中位数为，故B错误；乙数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；计算可知，，，因为，所以甲的平均数大，D正确故选ACD．2．当时，方程表示的轨迹可以是A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【解析】将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当时，．方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆．当时，，方程化为，表示两条直线．当时，，．方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线．所以曲线不可能表示圆．故选ACD．3．若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”．给出下列数列，其中是“差递减数列”的有A． B． C． D．【答案】CD【解析】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断．对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确．故选CD．4．对于二项式，以下判断正确的有A．存在，展开式中有常数项；B．对任意，展开式中没有常数项；C．对任意，展开式中没有的一次项；D．存在，展开式中有的一次项．【答案】AD【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。故答案选AD5．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为．【答案】，（，0），k∈Z【解析】函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f（x）＝2tan（），6．已知函数，当a＝时，f（x）的值域为R；若f（x）在R上单调递减，则a的取值范围是．【解答】R，0＜a≤【解析】当a＝时，，当x＜1时，f（x）＝﹣x+2∈（1，+∞），当x≥1时，f（x）＝3（）x是减函数，f（x）∈（﹣∞，），所以函数f（x）的值域R．若f（x）在R上单调递减，则0＜a＜1且﹣1+2≥3×a，解得0＜a≤．故答案为：R，0＜a≤．7．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？【解析】因为在等比数列中，，，所以其公比，从而，从而．若存在，使得，即，从而；同理，若使，即，从而．（方法一）若选①：由，得，所以，当时满足，且成立；若选②：由，且，所以数列为递减数列，故不存在，且；若选③：由，解得，从而，所以当时，能使，成立．（方法二）若选①：由，得，所以公差，，从而；，解得，又，从而满足题意．8．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①（1）解得或（舍去），（2）方案二：选条件②（1）解得或（舍去），（2）方案三：选条件③解得或（舍去），（2）9．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在中，角的对边分别为，，，．求的面积．【解析】若选①：由正弦定理得，即，所以，因为，所以．又，，，所以，所以．若选②：由正弦定理得．因为，所以，，化简得，即，因为，所以．又因为，所以，即，所以．若选③：由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，，所以，，，所以．又，，，所以，所以．10．（2020•牡丹区校级模拟）在①；②2a+c＝2bcosC；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足①，，a+c＝4，求△ABC的面积．【解析】在横线上填写“”，则由正弦定理，得．由sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，得．由0＜C＜π，得sinC≠0．所以．又cosB≠0（若cosB＝0，则sinB＝0，sin2B+cos2B＝0这与sin2B+cos2B＝1矛盾），所以．又0＜B＜π，得．由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．将a+c＝4代入，解得ac＝4．所以＝＝．11．（2020•邵阳一模）如图，在平面图形PABCD中，ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD=2，M为CD的中点，将△PAD沿直线AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PM与平面ABCD所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解析】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，∵PA＝PD，得PE⊥AD，由底面ABCD为菱形，得BD⊥AC，∵E，M分别为AD，CD的中点，∴EM∥AC，则BD⊥EM，又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，则BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD，而PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，PE⊥平面ABCD，连接EM，可得∠PME＝30°，设AB＝a，则PE=2-a24故tan∠PME＝tan30°=PEEM，即2-a24故PE＝1，S四边形故VP12．在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________．（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．【解析】（1）选①，由题意可得：，解得，所以所求椭圆的方程为；（2）（i）当时，（ii）当时，由题意可得：．设直线的方程为，设，由整理得：显然，且，所以所以线段的中点，则线段的中垂线方程为，令，可得，即，又，所以，所以，即13．（2020•兖州区模拟）某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200），[200，400），[400，600），…[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为sinA、sinB、sinC，记A、B、C为锐角△ABC的内角．求证：sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC＜1．附：P（K2≥k）0．1500．1000．0500．0100．005k2．0722．7063．8416．6357．879K2=【解析】（1）解：根据题意，列联表如下：健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100∵K2=100（300-800）250×50×30×70（2）解：若选方案一、则需付款900元；若选择方案二、设付款为X元，则X的可能取值为700，800，900，1000．P（X＝700）=C33（12）3=P（X＝900）=C31（12）3=∴E（X）=700×1∵850＜900，∴选择方案二更划算；（3）证明：∵△ABC为锐角三角形，∴0＜sinA＜1，0＜sinB＜1，0＜sinC＜1．则三次抽奖机会中，该顾客至少中一次的概率为：P（X≥1）＝sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC．由概率的定义可知，P（X≥1）＜1．故sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC＜1．14．（2020•南海区模拟）已知f（x）＝kx2+e﹣kx（k＞0）（1）当x＞12时，判断函数f（2）记g（x）=f（x）+x2-mlnx（x＞12），若存在实数t，使直线y＝t与函数g（x）的图象交于不同的两点A（x1，【解析】（1）当x＞12时，f'（x）＝k（2x﹣e﹣kx），（f'（x））'＝k（2+ke﹣kx）＞0，所以f'（x所以f'（x）＞f'（12）=（2）因为g（x）＝f（x