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文档简介
理论分布与抽样分布第1页,课件共50页,创作于2023年2月§1正态分布记为X~N(
,
2),其中
>0,
是任意实数.
是位置参数.
是尺度参数.第2页,课件共50页,创作于2023年2月yxOμ第3页,课件共50页,创作于2023年2月正态分布的性质(1)
p(x)是关于
是对称的.p(x)x0μ在
点p(x)取得最大值.(2)若
固定,
改变,(3)若
固定,
改变,σ小σ大p(x)左右移动,
形状保持不变.
越大曲线越平坦;
越小曲线越陡峭.第4页,课件共50页,创作于2023年2月p(x)x0x
x标准正态分布N(0,1)密度函数记为
(x),分布函数记为
(x).第5页,课件共50页,创作于2023年2月
(x)的计算(1)x
0时,查标准正态分布分布函数表.(2)x<0时,用若X~N(0,1),则
(1)P(X
a)=
(a);(2)P(X>a)=1
(a);(3)P(a<X<b)=
(b)
(a);(4)若a0,则
P(|X|<a)=P(
a<X<a)=
(a)
(
a)
=
(a)
[1
(a)]=2
(a)
1
第6页,课件共50页,创作于2023年2月
例设X~N(0,1),求
P(X>
1.96),P(|X|<1.96)=1
(
1.96)=1
(1
(1.96))=0.975(查表得)=2
(1.96)
1=0.95=
(1.96)解:
P(X>
1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第7页,课件共50页,创作于2023年2月
设X~N(0,1),P(X
b)=0.9515,
P(X
a)=0.04947,求a,b.解:
(b)=0.9515>1/2,
所以b>0,
反查表得:
(1.66)=0.9515,
故b=1.66而
(a)=0.0495<1/2,所以a<0,
(
a)=0.9505,反查表得:
(1.65)=0.9505,
故a=
1.65例第8页,课件共50页,创作于2023年2月一般正态分布的标准化定理
设X~N(
,
2),则Y~N(0,1).推论:
若X~N(
,
2),则第9页,课件共50页,创作于2023年2月
若X~N(
,
2),则
P(X<a)=
P(X>a)=
第10页,课件共50页,创作于2023年2月
设X~N(10,4),
求P(10<X<13),P(|X
10|<2).解:
P(10<X<13)=
(1.5)
(0)=0.9332
0.5P(|X
10|<2)=
P(8<X<12)=2
(1)
1=0.6826=0.4332例第11页,课件共50页,创作于2023年2月
设X~N(
,
2),P(X
5)=0.045,
P(X
3)=0.618,求
及
.例
=1.76
=4解:
第12页,课件共50页,创作于2023年2月已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},则k=().3课堂练习(1)第13页,课件共50页,创作于2023年2月
设X~N(
,42),Y~N(
,52),记
p1=P{X≤
4},p2=P{Y≥
+5},则()①对任意的
,都有p1=p2
②对任意的
,都有p1<p2
③只个别的
,才有p1=p2
④对任意的
,都有p1>p2①课堂练习(2)第14页,课件共50页,创作于2023年2月
设X~N(
,
2),则随
的增大,概率P{|X
|<
}()①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③课堂练习(3)第15页,课件共50页,创作于2023年2月正态分布的3
原则设X~N(
,
2),则
P(|X
|<
)=0.6828.
P(|X
|<2
)=0.9545.
P(|X
|<3
)=0.9973.第16页,课件共50页,创作于2023年2月§2经验分布函数0当x
x(1)
Fn(x)=k/n当x(k)
x
x(k+1),k=1,2,…,n-11当x
x(n)
设
x1,x2,…,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本,若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1),x(2),…,x(n),则称
x(1),x(2),…,x(n)为有序样本,用有序样本定义如下函数
第17页,课件共50页,创作于2023年2月则Fn(x)是一非减右连续函数,且满足Fn(
)=0和Fn(
)=1由此可见,Fn(x)是一个分布函数,并称Fn(x)为经验分布函数。第18页,课件共50页,创作于2023年2月§3统计量与抽样分布当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时,最好的方法是构造样本的函数,不同的函数反映总体的不同特征。统计量设x1,x2,…,xn
为取自某总体的样本,若样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参数。则称T为统计量。统计量的分布称为抽样分布。第19页,课件共50页,创作于2023年2月按照这一定义,若x1,x2,…,xn为样本则都是统计量。而当
,
2
未知时,x1-
,x1/
等均不是统计量。尽管统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般是依赖于未知参数的。第20页,课件共50页,创作于2023年2月课堂练习(1)设X1,X2,…,Xn是来自总体N(
,2)的一个样本,其中
已知,2未知,以下哪些是统计量第21页,课件共50页,创作于2023年2月几个常用的统计量:
第22页,课件共50页,创作于2023年2月3.样本k
阶矩原点矩中心矩第23页,课件共50页,创作于2023年2月一、
2—分布数理统计中常用到如下三个分布:
2—分布、t—分布、F—分布第24页,课件共50页,创作于2023年2月2.
2—分布的密度函数曲线第25页,课件共50页,创作于2023年2月该密度函数的图象是一取非负值的偏态分布
第26页,课件共50页,创作于2023年2月3.
分位点
设X
~
2(n),若对于
:0<
<1,存在满足则称为分布的下侧
分位点。第27页,课件共50页,创作于2023年2月4.
2分布的性质:
a)分布可加性若X~
2(n1),Y~
2(n2),
X与Y
独立,则
X
+
Y~
2(n1+n2).
b)期望与方差
若X~
2(n),则E(X)=n,Var(X)=2n第28页,课件共50页,创作于2023年2月例4.1.3
设是取自总体N(0,4)的简单随机样本.
当a=
,b=
时,则
解:由题意得a=0.05b=0.01第29页,课件共50页,创作于2023年2月1.构造若X
~N(0,1),Y~
2(n),X与Y独立,则t(n)称为自由度为n
的t—分布。二、t—分布第30页,课件共50页,创作于2023年2月2.t(n)的概率密度为:第31页,课件共50页,创作于2023年2月t分布的密度函数的图象是一关于纵轴对称的分布,与标准正态分布的密度函数形状类似,只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些。第32页,课件共50页,创作于2023年2月3.
t(n)的性质:
(1)
p(t)关于t=0(纵轴)对称。
(2)
p(t)的极限为N(0,1)的密度函数.
4.分位点设T~t(n),若对0<
<1,存在t
(n)>0,满足
P{T
t
(n)}=
则称t
(n)为
t(n)的下侧
分位点.第33页,课件共50页,创作于2023年2月注:第34页,课件共50页,创作于2023年2月例4.1.4
设随机变量X
和Y
相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X和Y的s.r.s,则证明:故,且
与独立,所以第35页,课件共50页,创作于2023年2月三、F—分布
1.构造若X
~
2(n1),Y~
2(n2),X与Y独立,则称为自由度为n1,n2的F—分布,其概率密度为第36页,课件共50页,创作于2023年2月该密度函数的图象也是一取非负值的偏态分布
第37页,课件共50页,创作于2023年2月2.F—分布的分位点
对于0<
<1,若存在F
(n1,n2)>0满足
P{F
F
(n1,n2)}=
,则称F
(n1,n2)为F(n1,n2)的下侧
分位点第38页,课件共50页,创作于2023年2月3.F—分布性质:第39页,课件共50页,创作于2023年2月一般总体的结论设X为总体,则且E(X)=
,Var(X)=
2,为样本,第40页,课件共50页,创作于2023年2月正态总体的结论设总体则为样本,(1)(2)独立.(3)(4)第41页,课件共50页,创作于2023年2月课堂练习(2)设X1,X2,…,Xn是来自总体N(
,2)的一个样本,则服从什么分布?
2(n)第42页,课件共50页,创作于2023年2月课堂练习(3)设X1,X2,X3,X4是来自总体N(0,4)的一个样本,求a,b,使得
2(2)a=
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