理论分布与抽样分布

理论分布与抽样分布第1页，课件共50页，创作于2023年2月§1正态分布记为X~N(

,

2),其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.第2页，课件共50页，创作于2023年2月yxOμ第3页，课件共50页，创作于2023年2月正态分布的性质(1)

p(x)是关于

是对称的.p(x)x0μ在

点p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改变,(3)若

固定,

改变,σ小σ大p(x)左右移动,

形状保持不变.

越大曲线越平坦;

越小曲线越陡峭.第4页，课件共50页，创作于2023年2月p(x)x0x

x标准正态分布N(0,1)密度函数记为

(x),分布函数记为

(x).第5页，课件共50页，创作于2023年2月

(x)的计算(1)x

0时,查标准正态分布分布函数表.(2)x<0时,用若X~N(0,1),则

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,则

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

第6页，课件共50页，创作于2023年2月

例设X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第7页，课件共50页，创作于2023年2月

设X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而

(a)=0.0495<1/2,所以a<0,

(

a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=

1.65例第8页，课件共50页，创作于2023年2月一般正态分布的标准化定理

设X~N(

,

2),则Y~N(0,1).推论:

若X~N(

,

2),则第9页，课件共50页，创作于2023年2月

若X~N(

,

2),则

P(X<a)=

P(X>a)=

第10页，课件共50页，创作于2023年2月

设X~N(10,4),

求P(10<X<13),P(|X

10|<2).解:

P(10<X<13)=

(1.5)

(0)=0.9332

0.5P(|X

10|<2)=

P(8<X<12)=2

(1)

1=0.6826=0.4332例第11页，课件共50页，创作于2023年2月

设X~N(

,

2),P(X

5)=0.045,

P(X

3)=0.618,求

及

.例

=1.76

=4解:

第12页，课件共50页，创作于2023年2月已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},则k=().3课堂练习(1)第13页，课件共50页，创作于2023年2月

设X~N(

,42),Y~N(

,52),记

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥

+5},则()①对任意的

，都有p1=p2

②对任意的

，都有p1<p2

③只个别的

，才有p1=p2

④对任意的

，都有p1>p2①课堂练习(2)第14页，课件共50页，创作于2023年2月

设X~N(

,

2),则随

的增大，概率P{|X

|<

}()①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③课堂练习(3)第15页，课件共50页，创作于2023年2月正态分布的3

原则设X~N(

,

2),则

P(|X

|<

)=0.6828.

P(|X

|<2

)=0.9545.

P(|X

|<3

)=0.9973.第16页，课件共50页，创作于2023年2月§2经验分布函数0当x

x(1)

Fn(x)=k/n当x(k)

x

x(k+1),k=1,2,…,n-11当x

x(n)

设

x1,x2,…,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1),x(2),…,x(n)，则称

x(1),x(2),…,x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数

第17页，课件共50页，创作于2023年2月则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足Fn(

)=0和Fn(

)=1由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称Fn(x)为经验分布函数。第18页，课件共50页，创作于2023年2月§3统计量与抽样分布当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时，最好的方法是构造样本的函数，不同的函数反映总体的不同特征。统计量设x1,x2,…,xn

为取自某总体的样本，若样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参数。则称T为统计量。统计量的分布称为抽样分布。第19页，课件共50页，创作于2023年2月按照这一定义，若x1,x2,…,xn为样本则都是统计量。而当

,

2

未知时，x1-

,x1/

等均不是统计量。尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分布一般是依赖于未知参数的。第20页，课件共50页，创作于2023年2月课堂练习(1)设X1,X2,…,Xn是来自总体N(

,2)的一个样本,其中

已知，2未知,以下哪些是统计量第21页，课件共50页，创作于2023年2月几个常用的统计量：

第22页，课件共50页，创作于2023年2月3.样本k

阶矩原点矩中心矩第23页，课件共50页，创作于2023年2月一、

2—分布数理统计中常用到如下三个分布：

2—分布、t—分布、F—分布第24页，课件共50页，创作于2023年2月2.

2—分布的密度函数曲线第25页，课件共50页，创作于2023年2月该密度函数的图象是一取非负值的偏态分布

第26页，课件共50页，创作于2023年2月3.

分位点

设X

~

2(n)，若对于

：0<

<1，存在满足则称为分布的下侧

分位点。第27页，课件共50页，创作于2023年2月4.

2分布的性质：

a)分布可加性若X～

2(n1)，Y～

2(n2)，

X与Y

独立，则

X

+

Y～

2(n1+n2).

b)期望与方差

若X～

2(n)，则E(X)=n，Var(X)=2n第28页，课件共50页，创作于2023年2月例4.1.3

设是取自总体N(0,4)的简单随机样本.

当a=

,b=

时,则

解：由题意得a=0.05b=0.01第29页，课件共50页，创作于2023年2月1.构造若X

～N(0,1),Y～

2(n),X与Y独立，则t(n)称为自由度为n

的t—分布。二、t—分布第30页，课件共50页，创作于2023年2月2.t(n)的概率密度为:第31页，课件共50页，创作于2023年2月t分布的密度函数的图象是一关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些。第32页，课件共50页，创作于2023年2月3.

t(n)的性质:

(1)

p(t)关于t=0(纵轴)对称。

(2)

p(t)的极限为N(0，1)的密度函数.

4.分位点设T～t(n)，若对0<

<1,存在t

(n)>0，满足

P{T

t

(n)}=

则称t

(n)为

t(n)的下侧

分位点.第33页，课件共50页，创作于2023年2月注:第34页，课件共50页，创作于2023年2月例4.1.4

设随机变量X

和Y

相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X和Y的s.r.s,则证明：故，且

与独立,所以第35页，课件共50页，创作于2023年2月三、F—分布

1.构造若X

~

2(n1)，Y~

2(n2)，X与Y独立，则称为自由度为n1,n2的F—分布,其概率密度为第36页，课件共50页，创作于2023年2月该密度函数的图象也是一取非负值的偏态分布

第37页，课件共50页，创作于2023年2月2.F—分布的分位点

对于0<

<1，若存在F

(n1,n2)>0满足

P{F

F

(n1,n2)}=

，则称F

(n1,n2)为F(n1,n2)的下侧

分位点第38页，课件共50页，创作于2023年2月3.F—分布性质:第39页，课件共50页，创作于2023年2月一般总体的结论设X为总体,则且E(X)=

,Var(X)=

2,为样本,第40页，课件共50页，创作于2023年2月正态总体的结论设总体则为样本,(1)(2)独立.(3)(4)第41页，课件共50页，创作于2023年2月课堂练习(2)设X1,X2,…,Xn是来自总体N(

,2)的一个样本,则服从什么分布？

2(n)第42页，课件共50页，创作于2023年2月课堂练习(3)设X1,X2,X3,X4是来自总体N(0,4)的一个样本,求a,b,使得

2(2)a=