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精品文档-下载后可编辑一道高考解析几何题的探究题目(2022年高考江苏卷第19题):如图1
图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.
(。┤|AF1|-|BF2|=62,求直线AF1的斜率;()求证:|PF1|+|PF2|是定值.
1.解法探究
本题第(1)问比较基础,容易求得椭圆方程为x22+y2=1,离心率e=22.
下面给出第(2)问的几种简单解法:
解析
法一(设线求解)F1(-1,0),F2(1,0),可设直线AF1方程为x=myD1,直线BF2方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,将x=myD1代入椭圆方程得(m2+2)y2D2myD1=0解得y=m±2m2+2m2+2,即y1=m+2m2+2m2+2,则|AF1|=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21==2(m2+1)+mm2+1m2+2
①
同理可得
|BF2|=2(m2+1)-mm2+1m2+2
②
(。散佗诳傻
|AF1|-|BF2|=2mm2+1m2+2,
解2mm2+1m2+2=62得m2=2.
注意到m>0,所以m=2,所以直线AF1的斜率为1m=22.
()由于AF1∥BF2,所以|PB||PF1|=|BF2||AF1|,从而|PB|+|PF1||PF1|=|BF2|+|AF1||AF1|得到|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|・|BF1|,由点B在椭圆上知,|BF1|+|BF2|=22,得|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|(22-|BF2|),同理可得|PF2|=|BF2||AF1|+|BF2|(22-|AF1|),所以|PF1|+|PF2|=|AF1||AF1|+|BF2|(22-|BF2|)+|BF2||AF1|+|BF2|(22-|AF1|)=22-2|AF1||BF2||AF1|+|BF2|,
由①②得|AF1|+|BF2|=22(m2+1)m2+2,|AF1|・|BF2|=m2+1m2+2,
所以|PF1|+|PF2|=22-22=322.
法二(设点求解)
(。┥A(x1,y1),B(x2,y2),则x212+y21=1,x222+y22=1.
由焦半径公式可知|AF1|-|BF2|=(a+ex1)D(aDex2)=62,得到x2=3-x1,因为AF1∥BF2,所以kAF1=y1x1+1=y2x2-1,即1-x212(x1+1)2=1-x222(x2-1)2,
化简得2x1x2+3(x2-x1)D4=0,将x2=3-x1代入上式得2x21+(6-23)x1+4-33=0,解得x1=3-12或x1=3-52(舍),所以k2AF1=1-x212(x1+1)2=12,所以kAF1=22.
()设APF1与F2PB的相似比为λ,则|PF1|=λλ+1|BF1|=(1-1λ+1)(a+ex2),|PF2|=1λ+1|AF2|=1λ+1(a-ex1),所以|PF1|+|PF2|=2+22(x2-x1+x2λ+1)
当x1=-1时,x2=1,λ=1,结论成立;当x1≠-1时,λ=|AF1||BF2|=1+k2AF1|x1+1|1+k2AF1|x2-1|,当x1>-1时,x2>1;当x1
法三(设线求轨迹)(。┭映AF1交椭圆于B′点,根据对称性知|BF2|=|B′F1|,设A(x1,y1),B′(x2,y2),x2
()由于AF1∥BF2,设F1B=λF1P,P(x,y),则F2A=λλ-1F2P
即(xB+1,yB)=λ(x+1,y)
(xA-1,yA)=λλ-1(x-1,y),得A(λλ-1(x-1)+1,λλ-1y),B(λ(x+1)-1,λy)代入椭圆方程得:
[λ(x-1)+(λ-1)]22+(λy)2=(λ-1)2
[λ(x+1)-1]22+(λy)2=1
两式相减得(2λx+λ-2)(-λ)2=λ(λ-2),解得λ=62x+3代入[λ(x+1)-1]22+(λy)2=1得到[62x+3(x+1)-1]22+(6y2x+3)2=1
化简得x298+y218=1,即点P的轨迹为椭圆,焦点正好是F1与F2,则|PF1|+|PF2|=322.
法四(利用极坐标求解)
(。┮F1为极点,F1F2所在直线为极轴建立极坐标系,∠F2F1A=θ,|AF1|=ρ1,|B′F1|=ρ2,则ρ1=ep1-ecosθ,ρ2=ep1+ecosθ,由ρ1-ρ2=62得ρ1-ρ2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=2e2pcosθ1-e2cos2θ=2cosθ2-cos2θ=62,解得cos2θ=23,从而tanθ=±22,由|AF1|-|F1B′|=62>0,知θ∈(0,π2),故k=22.
()由(。1ρ1+1ρ2=2ep,设|PA|=r1,|PB|=r2,ρ2ρ1=|PB||PF1|ρ2+ρ1ρ1=|BF1||PF1|=2a-ρ2|PF1|,|PF1|=2aρ1-ρ1ρ2ρ1+ρ2,同理|PF2|=2aρ2-ρ1ρ2ρ1+ρ2,|PF1|+|PF2|=2a-2ρ1ρ2ρ1+ρ2=2a-ep=22-22=322.
法五(利用直线参数方程求解)
(。┥柚毕AB′的参数方程为x=-c+tcosθ
y=tsinθ(t为参数),代入x22+y2=1
化简并整理得(2-cos2θ)t2-2tcosθ-1=0,
由|AF1|-|F1B′|=62>0及t的几何意义知2cosθ2-cos2θ=62,解得cosθ=63或cosθ=-6(舍),则tanθ=22,即直线AF1的斜率为22.
()由(1),设(2-cos2θ)t2-2tcosθ-1=0的两根为t1,t2,则由t的几何意义知
|PF1|+|PF2|=2a-|2t1t2t1-t2|,而t1+t2=2cosθ2-cos2θ,t1t2=-12-cos2θ.
(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=4cos2θ(2-cos2θ)2+42-cos2θ=8(2-cos2θ)2
则|t1-t2|=222-cos2θ,故|PF1|+|PF2|=2a-|2t1t2t1-t2|=22-222=322.
2.拓展探究
通过求解过程,可以发现有心圆锥曲线中的几个结论:
结论1椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)(双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0))过其中一焦点F的弦记为|AB|,则1|AF|+1|BF|=2ab2.
结论2过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦记为|AB|,则1|AF|+1|BF|=2p.
结论3椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦半径AF1与BF2所在直线(点A,B在椭圆长轴所在直线同侧)
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