函数的连续性

第九节函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温随时间的变化而连续变化，铁棒长度随着温度的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，的变化很小；同样当温度变化很小时，的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。一、函数的连续性1.预备知识改变量：设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差，就叫的改变量，记作。改变量也叫增量。注意：①，并不是可取值的起点和终点，而是变化过程中从变到。②可正可负。③是一个整体记号，不是某个量与变量的乘积。2.函数在处连续的定义定义1当自变量在点的改变量为无穷小时，相应函数的改变量也是同一过程中的无穷小量，即，则称在处连续，见图1-37.定理1在处连续的充要条图1-37件是。图1-37证明由定义1，由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2如果，，当时，有，则在处连续。3.函数在点连续的要求⑴在点有意义，即有确定的函数值；⑵存在；⑶极限值函数值，即。这三要素缺一不可。4.连续与极限的区别当在处有极限时，在处可无定义，也可有。而当在处连续时，在一定有意义并且必成立。所以，函数在点处连续，则函数在点处必有极限，反之不成立。5.左右连续定义3如果，则称在处右连续；如果，则称在处左连续。所以在处连续亦可用以下定义描述。定义4若，即函数在点处左极限等于右极限等于函数值，则函数在点处连续。6.在某区间连续⑴在内连续是指，在处连续。⑵在上连续是指在内连续，在点右连续，在点左连续。注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.若在内连续，则称为的连续区间。7.连续函数的几何意义连续函数的图形是一条不断开的曲线。证明在处连续。证明注意，所以1O11O1-1从而在处连续。讨论在处的连续性。解因为图1-38，图1-38，，所以。由定义4，在处连续，见图1-38.证明多项式函数在内连续。证明设。由极限运算法则知1-1解因为在处无意义，且1-1不存在，所以为的第二类间断点。这时，在-1和1内来回振荡，通常称其为振荡间断点，见图1-41.图1-41讨论在点处的连续性。图1-41解因为在处无意义，故为1间断点。但，从而可补充定义，则函数在定义域内处处连续。1讨论在点处的连续性，见图1-42.图1-42解注意而，图1-42所以为第一类可去间断点，修改定义后，则函数处处连续，称函数为函数的连续延拓函数。习题1.91.设函数，试讨论在处的连续性。2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点。（1）；（2）；（3）；（4）3.设，问怎样补充定义，才能使在处连续。4.当为何值时，函数在点处连续。第十节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算1.连续函数的和仍然是连续函数定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。证明以两个函数为例，设，均在点连续，考虑。由，以及和的极限等于极限的和，有所以在点连续。一般地，我们有，其中为有限正整数。2.连续函数的积仍然是连续函数定理2有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。证明以两个函数为例，设，均在点连续，考虑。注意到，以及积的极限等于极限的积，我们有，所以在点连续。一般地，我们有，其中为有限正整数。3.连续函数的商仍然是连续函数定理3两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。证明由，以及分母不为零时，商的极限等于极限的商，设，我们有，所以在点连续。例1，，，均是两个连续函数，之商，而，是在上连续的函数，所以，，，在它们的定义区间内（排除分母为零的点）连续。从而可得，三角函数在其定义区间内连续。4.单调的连续函数的反函数也单调、连续定理4如果函数在某区间上单调且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调且连续。证明设的定义域为，值域为，且单增。显然在对应的区间上单调递增，所以仅证反函数的连续性。取，假设不是的端点，则对应找出，使，且亦不为的端点（若是端点，由单调性知就是函数在上的最值，即端点，而这个可能性已被上述假设排除）。从而，可找出，使且。令，，则由单调性，，再令，则且，且当时，有，由于也单增，所以，图1-43，从而当时，有图1-43，即在连续，见图1-43.例2证明反三角函数在其定义区间内都是连续的。解由于在上连续且单增，所以反函数在上也连续且单增。由于在连续且单减，所以反函数在上也连续且单减。由于在单增连续，所以反函数在上也连续且单增。由于在单减连续，所以反函数在内连续且单减。总之反三角函数在其定义区间内都是连续的。5.复合函数也连续（1）函数连续时，极限符号可和函数符号交换次序。定理5设，，在点连续，则复合函数当时的极限为。证明由在点连续可得，，当时，。又因为在点极限存在，我们有，对，，当时，。从而，（通过找到的），当时，有。从而。例3求解（2）复合函数的连续性。定理6设在点连续，且。又在点处连续，则复合函数在点也连续。证明由在连续，有。又在点处连续，故有，从而复合函数在点处连续。例4讨论函数的连续性。解因为，在上连续，而在和上连续，由定理6，在和上连续。二、初等函数的连续性（1）三角函数、反三角函数在前边我们已证明了它们在定义区间内是连续的。（2）有理函数，即两个多项式之商，前边已证在其定义区间内也连续。*（3）指数函数在单调连续。证明只证的情况。下面分两步证明。①在点连续；②在（）点连续。证明①因为，所以，，使。由于单增，所以，当时，，这表明。又因为，所以，，使。由于单增，所以当时，有。从而。综合以上两方面得。注意，所以。这就证明了在点连续。证明②设为任意不为零的点。由①，。注意以下极限：所以在点连续。（4）对数函数.由指数函数在中单调连续，图1-44知其反函数，即对数函数在图1-44内也是单调连续的函数。（5）幂函数，不论是何值，函数在内总是有意义的。设，则是由，复合而成的。由指数函数和对数函数连续性知亦连续。对于其他情况，也可以证明连续。总之，基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。由连续函数的运算规则知：一切初等函数在其定义区间内连续。例5设，则在上有定义，但无连续点。习题1.101.求函数的连续区间，并求极限，及。2.求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）.3.求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）.第十一节闭区间上连续函数的性质我们在前面已经讨论过了函数在一个区间上连续的概念，如果函数在闭区间上连续，则它会有很多很好的性质，而所谓在闭区间上连续，是指函数在开区间内连续，在右端点左连续，在左端点右连续。下来我们就来讨论这些性质。一、最值定理定理1（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界，即存在常数，，使得，.证明用反证法证明。假设这样的,不存在，即对任意的自然数，，使。显然数列是有界的。注意到任意有界无穷数列必存在收敛的子数列，我们设。由于，所以。从而。由在点连续可知，，当时，有，从而。这就证明了是一收敛数列，从而它是一有界数列。可是由的定义，产生矛盾。矛盾说明在闭区间连续的函数必有界。和定理有关的几点说明：（1）结论的几何解释：连续曲线在一闭区间内的图像一定介于直线，之间，见图1-45.（2）要使结论成立，两个条件缺一不可。如函数在开区间内连续，图1-45但函数无界。图1-452又如函数在闭区间2上有定义，但存在有不连续点，亦无界，见图1-46.（3）有界性定理的逆不成立。即，若有界在上连续。如函数在是有界的，但定义区图1-46间不闭。图1-46（4）有界性定理可推广到无限区间。例1已知在上连续，且.求证在上有界。证明因为，所以，，当时，有。即当时，。这表明当时，有界，上界为，下界为。又因为，在上连续。由有界性定理知，使。我们取，，则，有，见图1-47.定理2若在上连续，则在上一定能取到最值，即至少，使为最大值，至少，使为最小值。图1-47如函数在上是连续图1-47的，则在处，，取得最大值；在处，，取得最小值。关于定理2的几点说明：①结论成立的两个条件缺一不可。如函数在开区间内连续，但函数在内取不到最大值。又如函数取不到最值。②结论只说至少存在最值点，最大值点可能为一个、几个、无穷多个。同理最小值点可能为一个、几个、无穷个，但最值是惟一的。例2已知在上单调递增且连续，求在上的最值点和最值。解注意单调递增，则，当时，定有。而，从而。可见最小值点为，最大值点为，最小值，最大值。二、介值定理1.零点定理定理3若在闭区间上连续，且（即与异号），则至少有一点，适合，使。*证明设，。用点把分成两半，可能遇到函数恰在点等于0.那么令，定理就已经得证。假设，则，中必有一个两端函数值符号相反，用表示这个区间，则，，且。再把分成两半，分点为，若，已证完。否则，中必有一个两端函数值符号相反的区间，设其为，则，且，。继续进行这种构成区间的步骤。这时，要么在有限次步骤以后可能碰到某一分点，在该点函数值等于零，即证毕了。要么我们得出无穷数列对于第个区间，必有，，且长度等于。所以，从而，且。注意在点连续所以，可是，，故。关于定理3的几点说明：①定理的几何解释：见图1-48.如果，则的图形在上至少过轴一次。②由定理3知，零点在内必存在，但并不知零点的确切位置和个数。例3证明在内至少有一实根。证明考虑函数，则在上连续。又因为，，满足零点定理。所以，至少，使。即为的一个实根。例4已知和在连续，且，。求证至少有，使图1-48。图1-48证明考虑函数，则在上连续。又，所以，由零点定理，至少存在，使，即。例5已知在上连续，且。求证：存在，使。证明①当时，取，即有。②当时，取，即有。③当时，，时，做，则在上连续。注意到，，由零点定理，，使，即。综合①,②,③，知结论成立。2.介值定理定理4若在上连续，且，不妨设，则，至少，使。证明考虑函数，，则在上连续。注意，.所以满足零点定理，故，使，即。介值定理的几点说明：①定理的几何解释：连续曲线与水平直线，在内（）至少相交于一点，见图1-49.②定理中存在，并不知的确切位置和个数。定理5若在上连续，则必图1-49取得介于最大值与最小值之间的任何值。图1-49证明因为在上连续，所以在上可取得最值。从而，存在，使得