注册电气工程师基础考试线性代数课件

线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．1.全排列一、行列式逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．2.逆序数例1

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.3.n阶行列式的定义例2解方程左端4.n阶行列式的性质例3

计算阶行列式解将第都加到第一列得１）竹余子式轧与代数济余子晨式5.行列服式按秤行（姥列）员展开２）零关于死代数竖余子哭式的说重要总性质例46.克拉谊默法钥则定理定理二、矩阵1.矩阵助的定治义记作简记妨为2.几种磁特殊陵矩阵(2欣)只有蛋一行喇的矩关阵称为行矩差阵(或行向间量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有汪一列母的矩灯阵称为列矩北阵(或列向仪量).称为对角矩阵(或对角叫阵）.（3）形如的方阵,不全为0记作

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同困阶数房诚的零步矩阵捞是不挺相等扎的.例如(5夜)单位阵：乱对角妄线上魄全为1的对身角阵称为单位堆矩阵（或单位渣阵）.全为1(6台)对称棋矩阵定义设为阶方阵，如果A的元素满足那末称为对称阵.对称络阵的哈元素危以主粗对角宴线为你对称沃轴对悠应相柔等.说明2）两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型奸矩阵.3.同型涂矩阵挤与矩赔阵相页等的弹概念1）两镜个矩肃阵的搬行数独相等,列数都相等寺时,称为同型穿矩阵.例5设解1)加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为4.矩阵逝的运裁算2)数与驳矩阵乱相乘矩阵忘相加穿与数芹乘矩否阵合次起来,统称筋为矩急阵的线性爸运算.并把袋此乘摧积记佛作3)矩阵析与矩僚阵相谎乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注意只有爹当第肺一个壳矩阵幸的列皆数等杜于第宜二个纺矩阵的行沿数时饰，两熟个矩污阵才贴能相妻乘.例１注：（1）矩参阵乘沈法不满帐足交换谣律(2良)矩阵酸乘法不满反足消去幸律,即（其中为数）;

若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且（注：单降位矩雷阵E在矩热阵乘睬法中璃的作抄用类喂似于庸数1）定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例4）矩嫂阵的扮转置转置眨矩阵矿的运禾算性考质注：滋若A为对腔称阵烤，则5）方感阵的摇行列秃式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算偶性质定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.6）伴沈随矩扯阵7）逆善矩阵定义

对于阶方阵，如果有一个阶方阵

则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.使得定理1

方阵可逆的充要条件是，且

二阶旱矩阵词的逆挽矩阵势用该吵公式名求，绝三阶吧及以或上矩延阵的纵逆矩露阵用庭初等旺变换距求。逆矩栏阵的里运算要性质解：矩阵动方程解定义1下面溪三种异变换引称为饿矩阵像的初建等行钞变换:5.矩阵锐的初汤等变振换定义2矩阵旦的初炕等行陡变换只与初查等列与变换森统称辜为初等夹变换部．初等较变换后的逆止变换榜仍为椒初等谣变换,且变婚换类筐型相嚷同．同理屈可定孤义矩石阵的厚初等促列变棍换(所用发记号场是把励“r”换成川“c”)．逆变死换逆变触换逆变盖换定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种飘初等衰变换产对应籍着三番种初始等方秤阵.6.初等为矩阵

定理设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等所变换初等功矩阵初等向逆变性换初等勉逆矩啊阵初等猎矩阵渐的作拾用

定理设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵利用宅初等基变换优求逆杨阵的散方法罢：6.矩阵针的秩例8解求矩肾阵秩驱的方晒法：把矩忍阵用嫂初等捕行变找换变某成为决行阶疫梯形刻矩阵筑，行优阶梯担形矩魂阵中渐非零震行的后行数樱就是预矩阵弄的秩.例9解由阶炸梯形番矩阵同有三智个非竿零行分可知显然恨，3阶子太式则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之熔对应糟的三渠阶子勾式三、n维向挨量若干蛇个同消维数团的列裤向量丽（或氏同维浮数的缝行向现量）麻所组意成的部集合势叫做衣向量廉组．1.向量紧及向执量组悔的线缠性相神关性线性组合解：续考虑定义2设有腥两个抬向量影组（1）若拴向量奇组B中每志个向但量都统能由阔向量钓组A线性爸表示耗，则雀称向头量组B能由夕向量斑组A线性小表示压。（2）若夕向量义组A与向漠量组B能相坟互线撒性表增示，劈燕则称呼这两上个向泥量组妖等价爬。定义醉３则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．由定绿义3可得隙：1、任店一向伯量组翠不是叛线性率相关省就是堤线性疾无关肌。2、含零堪向量盗的向彼量组辱一定狱线性爷相关理。3、单钻个非穴零向泥量一夏定是忠线性瓦无关。4、两缸个向午量线候性相含关的模充分躬必要互条件枕是对贩应分煤量成臣比例穗。定理2解例11定理3（1）部籍分相档关整伶体相里关。（2）m个n维向刷量，过当维袜数n小于雀向量恨个数m时一白定线疼性相拔关。2.最大虏无关键组与债向量得组的珠秩定义彼１注：只含戒零向专量的顾向量棒组没书有最盲大无我关组包，规迫定它贩的秩越为0.推论1推论21.线性急方程滋组的锻三种农表达侮方式若记（1）四、运线性拉方程慎组则上谈述方放程组彩（1）可欣写成量矩阵滨方程如果脂将矩才阵A的列吩向量凝组记眠为则方隔程组鸦（1）还效可表摄为向喇量方偿程2.线性症方程块组有骗解的菌判定茧条件齐次俱线性宵方程鹿组解烈的性脸质3.线性悔方程域组解缘瑞的性属质与趟结构基础场解系破的定丑义齐次腐线性方做程组惧解的阴结构非齐亭次线逼性方吨程组励解的萌性质其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐鄙次线劲性方颜程组煌解的彻结构非齐次条线性瓶方程扬组Ax初=b的通冬解为齐次唤线性双方程基组：系鸭数矩造阵化拢成行闸最简售形矩长阵，糕便可提写出臭其通大解；非齐帖次线顽性方分程组凡：增广推矩阵亚化成冤行阶块梯形蚊矩阵凤，便买可判杨断其滴是否办有解剩．若昼有解断，化它成行怀最简扭形矩达阵，骗便可奖写出包其通胆解；3.线性基方程朝组的夜解法例11求解控齐次密线性斥方程华组解即得婚与原方吸程组斩同解重的方滤程组由此爷即得例12求解遥非齐龟次方烛程组妻的通接解解对增站广矩此阵B进行辣初等耐变换故方行程组鹅有解刷，且惧有所以贤方程窑组的舟通解乓为五、巴矩阵摊的特散征值链和特周征向组量求矩拖阵特争征值匹与特后征向够量的乒步骤池：特征锹值、艇特征衰向量侄性质（1）属脚于不披同特饿征值掀的特店征向禁量是要线性头无关厕。解例13

六、区矩阵验相似弱与对暗角化1、相肥似矩忍阵与旁相似辛变换沉的概决念2、相男似矩接阵的渴性质（1）相枕似关处系是灿等不价关结系（5）相烫似矩京阵有救相同肥的特摄征多握项式胃，有杨相同衬的特馅征值叶。还可称证明谨下列澡结论3、方添阵可演化为挥对角盏阵的贞条件4、实杯对称啦矩阵长的性竭质(1芒)特征符值为孙实数宵；(2驻)属于淋不同运特征希值的易特征怜向量荐正交唱；(3兄)特征关值的木重数兆和与榨之对妹应的荡线性若无关赛的特征掉向量喇的个拿数相牲等；(4起)必存畜在正霞交矩思阵，另将其冠化为饺对角清矩阵浮，且对