2021年中考数学几何专题《圆的综合》(三)

2021年中考数学几何专题《圆的综合》(三).如图，D为。O上一点，点C在直径BA的延长线上，且NCDA=ZCBD.(1)求证：CD是。O的切线；AD2(2)过点5作。。的切线交的延长线于点£,BC=9,器=言.求的长.DU§E.如图，。O为等边△ABC的外接圆，AD//BC,NADC=90°,CD交。O于点E.(1)求证：AD是。O的切线；(2)若DE=2,求阴影部分的面积..如图，四边形内接于。0,45是直径，。为面的中点，延长A。，交于P,连

结AC.(1)求证：AB=AP；(2)当AB=10,DP=2时，求线段CP的长.B.如图，已知BC±AC,/4O在AC上，点M与点C分别是AC与。O的交点，点D是MB与。O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO=AM-AP.(1)连接OP，证明：△ADMs^APO；(2)证明：PD是。O的切线；(3)若AD=12,AM=MC,求PB和DM的值.5．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1,zE是^ABC中NA的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.(2)如图2,四边形内接于。0,标=丽，四边形的外角平分线。方交。。于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：NBEC是^ABC中NBAC的遥望角．(3)如图3,在(2)的条件下，连结AE,AF，若AC是。O的直径.①求NAED的度数；②若AB=8,CD=5,求4DEF的面积.图1 图2 图3.如图示，AB是。O的直径，点F是半圆上的一动点(F不与A,B重合)，弦AD平分

Z血区过点D作DE±AF交射线AF于点AF.(1)求证：DE与。O相切：(2)若AE=8,AB=10,求DE长;(3)若AB=10,AF长记为l,EF长记为y,求y与％之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．音用图的最大值．音用图.如图，已知45是。O的直径，点C在。O上，AD±DC于点D,AC平分/DAB.(1)求证：直线CD是。O的切线；(2)若AB=4,ZDAB=60°,求AD的长..如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8,点G、H分别在射线CD、EF上(点G不与点C、D重合)，且NGBH=60°,设CG=x,EH=y.(1)如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求NCBG的度数；(2)如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)联结AH、EG,如果△AFH与^DEG相似，求CG的长.图© 图② 音用图.如图1,CD是。O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC,过弧AD上一点E作EF//BC,交BA的延长线于点F,连接CE，其中CE交AB于点G,且FE=FG.(1)求证：EF是。O的切线；(2)如图2,连接BE，求证：BE2=BG•BF；(3)如图3,若CD的延长线与FE的延长线交于点M,tanF=—,BC=5^,求。M的值．.如图1,扇形045的半径为4,N495=90。，P是半径05上一动点，。是他上一动（1）连接AQ、BQ、PQ,则NAQB的度数为；（2）当夕是05中点，且PQ〃O4时，求M的长；（3）如图2,将扇形045沿PQ对折，使折叠后的苏厂■恰好与半径04相切于点C若OP=3,求点O到折痕PQ的距离.参考答案

.(1)证明：连接OD,「OB=OD,AZOBD=ZBDO,VZCDA=ZCBD,AZCDA=ZODB,又VAB是。O的直径，AZADB=90°,AZADO+ZODB=90°,AZADO+ZCDA=90°,即ZCDO=90°,AOD±CD,OD是。O半径，ACD是。O的切线；(2)解：VZC=ZC,ZCDA=ZCBD,•・△CDA^ACBD,CD-Be.AD而=ADCD-Be.AD而BD5二卷,BC=9,ACD=6,VCE,BE是。O的切线，ABE=DE,BE±BC,ABE2+BC2=EC2,即BE2+92=(6+BE)2,解得:be=^-..(1)证明：连接AO并延长交BC于F，如图所示:AZAFC=90,?AD//BC,ZADC=90°,AZBCD=180°-ZADC=90°,A四边形AFCD是矩形，AZDAF=90°,AF/CD,AAD±OA,AAD是。O的切线；(2)解：连接AE、OE，如图2所示：由(1)得：AF/CD,ZACD=ZCAF=~^ZBAC=30°,AZAOE=2ZACD=60°,•・•OA=OE,・•.△AOE是等边三角形，AOA=AE,ZOAE=60°,AZDAE=30°,VZADC=90°,：.OA=AE=2DE=4,AD=\f3DE=2\[3,・•・阴影部分的面积=梯形OADE的面积-扇形AOE的面积=/(2+4)x2^3-/BAC=/CAP,,/AB是直径，ZACB=ZACP=90°,VZABC+ZBAC=90°,ZP+ZCAP=90°,：.ZABC=ZP,：.AB=AP.(2)解：如图，连接5D\'AB是直径，ZADB=ZBDP=90°,'：AB=AP=10,DP=2,：.AD=10-2=8,:,BD=\j/-AD2=V102-82=6,•*-P5=a/bD2+PD2=V62+22=2V10,'：AB=AP,AC±BP,：.BC=PC=~^PB=\I^,；・pc=\Tid.4.(1)证明：连接OD、OP、CD.,?AD•AO=AM•AP,,ADM八八・.标F'NA："・•・△ADMs'APO.(2)证明：•「△ADMs'APO,AZADM=ZAPO,•・MD//PO,AZDOP=ZMDO,ZPOC=ZDMO,「OD=OM,AZDMO=ZMDO,AZDOP=ZPOC,「OP=OP,OD=OC,A'ODP/△OCP(SAS),AZODP=ZOCP,;BC±AC,AZOCP=90°,J.ODLAP,二.P。是。O的切线.(3)解：连接CD由(1)可知：PC=PD,'：AM=MC,：.AM=2MO=2R,在RtAAOD中，（9D2+AD2=OR2,.,.H2+122=9H2,:.R=3四,：.OD=342,MC=&^2,..AD二2AP~A0"3，.122・,而可.*.AP=18,：.DP=AP-AD=1S-12=6,.•O是MC的中点，,COCPFC-CB"2'•・点尸是3。的中点，：.PB=CP=DP=6,是。O的直径，ZBDC=ZCDM=90°,在RtZ\8CM中，\'BC=2DP=12,MC=6\I~2,;.bm=\Ibc"十MC2=J122+（M^）*=6巫,•唐典.即MCMB1&J2:.DM=2叵.5.解：(1)，:BE平分/ABC,CE平分/ACD,ZE=ZECD-ZEBD=^(ZACD-/ABC)=]/立Va,(2)如图1,延长BC到点T,图1・•四边形FBCD内接于。O,•・/FDC+ZFBC=180°,又•:/FDE+ZFDC=180°,•・/FDE=ZFBC,•「DF平分/ADE,AZADF=ZFDE,VZADF=ZABF,AZABF=ZFBC,ABE是ZABC的平分线，VAD=即，AZACD=ZBFD,VZBFD+ZBCD=180°,ZDCT+ZBCD=180°,AZDCT=ZBFD,AZACD=ZDCT,ACE是'ABC的外角平分线，AZBEC是'ABC中ZBAC的遥望角.(3)①如图2,连接CF,图？ZBEC是△A5C中ZBAC的遥望角,：.ZBAC=2ZBEC,ZBFC=ZBAC,：.ZBFC=2ZBEC,/BFC=/BEC+/FCE,：.ZBEC=ZFCE,ZFCE=ZFAD,：./BEC=/FAD,又,：4FDE=4FDA,FD=FD,：.AFDE^AFDA(AAS),：.DE=DA,/AED=/DAE,•「AC是。O的直径，ZADC=90°,：.ZAED+ZDAE=90°,：.ZAED=ZDAE=45°,②如图3,过点A作AG，5£于点G,过点方作bMLC£于点M,•「AC是。O的直径,ZABC=90°,•「BE平分/ABC,：.ZFAC=ZEBC=~^ZABC=45°,VZAED=45°,AZAED=ZFAC,VZFED=ZFAD,AZAED-ZFED=ZFAC-ZFAD,AZAEG=ZCAD,VZEGA=ZADC=90°,・•・△EGAs'ADC,.AE=AG••而F，V在Rt'ABG中，AB=8,ZABG=45°,••・AG=¥aB=4F，在 中，AE=42AD,•小三AC5•延二AC5'在Rt'ADC中，AD2+DC2=AC2,A设AD=4mAC=5%，则有(4%)2+52=(5%)2,：.ED=AD=：.CE=CD+DE=^-VZBEC=ZFCE,AFC=FE,VFMVFM±CE,DM=DE-EM="7VZFDM=45°,：.FM=DM=^,SaDEF=~^DE・FM=§.6.(1)证明：连接OD，如图1所示：VOD=OA,：.ZOAD=ZODA,VAD平分ZBAF,：.ZOAD=ZFAD,：.ZODA=ZFAD,：.OD//AF,VDE±AF,：.DE±OD,又VOD是。O的半径，・•・DE与。O相切：(2)解：连接BD，如图2所示：AB是。O的直径，AZADB=90°,DE±AF,AZAED=90°=ZADB,又VZEAD=ZDAB,•・△AED^AADB,AAD：AB=AE：AD,AAD2=ABxAE=10x8=80,在中，由勾股定理得：^=VaD2-AE2=^80-82=4；(3)连接DF，过点D作DG±AB于G,如图3所示：rZABD=ZAGD=90°在△AE。和△AG。中，，/DAE=/DAG ,iAD=ADAAAED必AGD(AAS),AAE=AG,DE=DG,

VZFAD=ZDAB,DF=口B，・•・DF=DB,在RtADEF和RtADGB中,fDE=DG1.DF二DBARtADEF^RtADGB(HL),・•・EF=BG,AAB=AG+BG=AF+EF=AF+EF+EF=AF+2EF,即：％+2y=10,.•.尸--^-x+5,1 1 25.,.AFuEF=--x2+5x=~~(%-5)2+-^-,25•••ARE/有最大值，当％=5时，4万・£耳的最大值为丁.图？图？7.(1)证明：连接0C如图1所示：•「OA=OC,AZOAC=ZOCA,VAC平分/DAB,AZDAC=ZOAC,AZOCA=ZDAC,AOC//AD,VAD±DC,ACD±OC,又VOC是。O的半径，A直线CD是。O的切线；(2)解：连接BC,如图2所示：VAB是。O的直径，AZACB=90°,AC平分ZDAB,ZDAB=60°,AZDAC=ZBAC=30°,：.BC=^AB=2,AC=43BC=2\f3,AD±DC,AZADC=90°,：.CD=-^AC=43,AD=43CD=3.图18.解：（1）连接OQ，如图①所示:•・•六边形ABCDEF是正六边形，・•・BC=DE，/ABC=120°,BE〃CD,.*.BC=DE，ZEBC=-^ZABC=6Q°,•・•点。是面的中点，，而=而，.*.BC+CQ=DE+DQ，即丽=而，AZBOQ=ZEOQ,VZBOQ+ZEOQ=180°,AZBOQ=ZEOQ=90°.VBO=OQ,AZOBQ=ZBQO=45°,AZCBG=ZEBC-ZOBQ=60°-45°=15°；(2)在BE上截取EM=HE，连接HM，如图②所示:V正六边形ABCDEF，直径BE=8,ABO=OE=BC=4,ZBCD=ZFED=120°,/FEBg/FED=60。,「EM=HE,•・△HEM是等边三角形，•・EM=HE=HM=y,NHME=60°,AZBCD=ZHMB=120°,VZEBC=ZGBH=60°,AZEBC-ZGBE=ZGBH-ZGBE,即ZGBC=ZHBE，：.△BCGs△BMH,.里皿•丽而又VCG=x,BE=8,CD=BC=4,.4三，e8-y一y'F：t与％的函数关系式为¥二号(0<x<4).i+4(3)如图③，当点G在边CD上时.由于△AFHs^EDG,且ZCDE=ZAFE=120°,①当事VAF=ED,AFH=DG,ACG=EH,解分式方程得：x=4.经检验x=4是原方程的解，但不符合题意舍去.②当MH.即：W?，解分式方程得：x=12.经检验x=12是原方程的解，但不符合题意舍去.如图④，当点G在CD的延长线上时.由于△AFHs^EDG,且ZEDG=ZAFH=60°,①喘嗡VAF=ED,・•・FH=DG,即:・•・CG=EH,解分式方程得：％=4.②喘嘿・眠a咛经检验％=4是原方程的解，但不符合题意舍去.解分式方程得：％=12.经检验％=12是原方程的解，且符合题意.综上所述，如果△AFH与^综上所述，如果△AFH与^DEG相似，那么CG的长为12.9.解：(1)连接OE，则NOCE=ZOEC=a,图1「FE=FG,•・/FGE=NFEG=%:H是AB的中点，•・CH±AB,•・/GCH+NCGH=a+P=90°,•・/FEO=NFEG+NCEO=a+0=90°,•・EF是。O的切线；(2)VCH±AB,AC=BCAZCBA=NCEB,/EF//BC,AZCBA=ZF,故ZF=ZCEB,AZFBE=ZGBE,•・△FEBMEGB,ABE2=BG•BF；(3)如图2,过点F作FR±CE于点R,3设/CBA=/CEB=/GFE=»则tany=w，\'EF//BC,=BC=5\f7yAZFEC=ZBCG=^,故△5CG为等腰三角形，则=BC=5\f7y2在RtABCH中，BC=55tanZCBH=tany=-^,nil. 3 4则siny=—,cosy=—,d bCH=BCsiny=5\[jy-r=?47,同理85=4政；b设圆的半径为r,则OB2=OH2+BH2,即r2=(r-3^7)2+(4^7)2,解得：3=25^?6GH=BG-BH=5\fj-4V7=忻，tanZGCH=CH=^=T则cos/GS=；^,则tanZCGH=3=tanp,则cosP=^y=_,连接。£,则NC£0=9O。,在RtACDE中CECE3 , 5J?0cosZGCH=-=-=^,解得：以=晋,, 5V70贝lj, 5V70贝ljGE=CE-CG=—GE在△耳£G中，cosp=2FG, 15V?解得：FG=-^—-17V?FH=FG+GH=—产，3痂]ru47+(3诟V)=^~，:,HM=FHtan/