湖南省邵阳市隆回第一中学2021年高三数学理测试题含解析

湖南省邵阳市隆回第一中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二项式的展开式中常数项为

（

）A．－15

B．15

C．－20

D．20参考答案：B其展开式的通项公式=,令,可得展开式中常数项为.选B.2.在等比数列中，若，，则该数列前五项的积为A．±3 B．3 C．±1 D．1参考答案：D【知识点】等比数列解：因为，

所以

故答案为：D3.设不等式组示的平面区域为D．若指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A．[，3] B．[3，+∞） C．（0，] D．[，1）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】作图题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出指数函数在0＜a＜1时的图象，求出图象过A（﹣1，3）时a的值，则a的范围可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，3），当函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点A时，有a﹣1=3，即a=．由指数函数图象的特点可知，当a∈[，1）时，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点．故选：D．【点评】本题考查基地的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的性质，是中档题．4.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.下列结论错误的是

（

）A．命题：“若”的逆否命题为:“若，则”B.若p且q为假命题，则p、q均为假命题C.“”是“”的充分不必要条件D.命题:“存在为实数，”的否定是“任意是实数，”参考答案：B略6.函数y=ex+cosx在点（0，2）处的切线方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．2x﹣y+2=0 D．x﹣2y+4=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出函数的导函数，把x=0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．【解答】解：由题意得：y′=ex﹣sinx把x=0代入得：y′|x=0=1，即切线方程的斜率k=1，而切点坐标为（0，2），则所求切线方程为：y﹣2=x﹣0，即x﹣y+2=0．故选A．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道基础题．7.已知点、、为椭圆上三点，其中，且的内切圆圆心在直线上，则三边斜率和为（

）A、 B、 C、 D、参考答案：B8.若，，则的大小关系为（

）．． ．． ．参考答案：B9.ac2＞bc2是a＞b的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：不等式的基本性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：由ac2＞bc2，可得a＞b，反之若a＞b，则ac2≥bc2，故可得结论．解答： 解：若ac2＞bc2，∵c2＞0，∴a＞b，∴ac2＞bc2是a＞b的充分条件若a＞b，∵c2≥0，∴ac2≥bc2，∴ac2＞bc2不是a＞b的必要条件∴ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件故选A．点评：本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．10.设向量,满足:,,,则与的夹角是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的实部为_________；虚部为___________.参考答案：

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】＝＝.实部为，虚部为.故答案为：(1)；(2).【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135.075.516.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸．参考答案：82【考点】等差数列的通项公式．【分析】设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故答案为：82．13.设为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足(P与A不重合），Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC,有下列命题：①若QA=QP，。，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上;②若QA=QP,则；③若QA>QP,，则；④若QA>QP，则P在△ABC内部的概率为分别表示△ABC与的面积)．其中不正确的命题有__________（写出所有不正确命题的序号）．参考答案：①③④14.设函数，其中是给定的正整数，且。如果不等式在区间上有解，则实数的取值范围是

。参考答案：略15.已知数列{)满足，则该数列的通项公式=

参考答案：16.如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

．参考答案：817.【文科】正方体中，异面直线与所成的角的大小为

.参考答案：连结，,则，所以为直线与平面所成的角，所以设正方体的边长为1，则，所以，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．参考答案：①

②19.已知椭圆C：，离心率，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，，直线m：.（1）求椭圆C方程；（2）直线l过点F与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与直线m交于M、N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.参考答案：（1）；（2）以为直径的圆能过两定点、【分析】（1）根据以及，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，两点的坐标，根据直线的方程求得两点的坐标，由此求得以为直径的圆的方程.联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理写出两点坐标的关系，代入圆的方程进行化简，由此求得圆和轴交点的坐标.当直线斜率不存在时，求得点的坐标，求得为直径的圆的方程，由此求得该圆也过直线斜率存在时的两个点.由此判断出圆过定点，并得到定点的坐标.【详解】（1），得，所求椭圆方程：.（2）当直线斜率存在时，设直线：，、，直线：，令，得，同理，以为直径的圆：，整理得：

①，得，，

②将②代入①整理得：，令，得或.当直线斜率不存在时，、、、，以为直径的圆：也过点、两点，综上：以为直径的圆能过两定点、.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆交点的求法，考查已知圆直径端点的坐标求圆的方程的方法，综合性较强，需要一定的运算求解能力.直线和圆锥曲线联立方程，消元后得到的一元二次方程往往含有参数，此时一般考虑用韦达定理表示两根之间的关系.20.（本题满分12分）若函数与的图象关于原点对称，且，（1）求的解析式；（2）解不等式参考答案：解：（1）由题意得………………4分由，得

……………6分…………7分

或…………9分

或…………10分∴，即不等式的解集为…………12分略21.已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosθ，﹣sinθ），其中0＜θ＜π．函数f（x）=在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若sinB=2sinA，，求A．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π处取最小值求θ的值；（Ⅱ）发一：通过，求出C的值，利用三角形的内角和与sinB=2sinA，通过三角代换直接求A．法二：通过，求出C的值，利用正弦定理和余弦定理，求出B，然后求出A．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sinxcosθ+cosxsinθ=sin（x+θ）…又∵函数f（x）在x=π处取最小值，∴sin（π+θ）=﹣1，即

sinθ=﹣1…又0＜θ＜π，∴…∴…6分（Ⅱ）法一：∵，∴∵0＜C＜π，∴．

…8分∵A+B+C=π，∴…代入sinB=2sinA中，∴，∴，∴，…∵0＜A＜π，∴．

…（Ⅱ）法二：∵，∴∵0＜C＜π，∴．

…8分∵sinB=2sinA，由正弦定理有b=2a．

…又由余弦定理得∴a2