二次函数的几何应用-“江南联赛”一等奖

第三章函数及其图象第16讲二次函数的几何应用1.(2020·龙东)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B

(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；解：根据题意，得解得故抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)．2.(2020·广元)如图，直线y＝－2x＋10分别与x轴、y轴交于A，B两点，C为OB的中点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点.(1)求抛物线的解析式；解：在y＝－2x＋10中，令x＝0，则y＝10；令y＝0，则x＝5，∴点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，10)．∵C为OB的中点，∴点C的坐标为(0，5)．将A(5，0)和C(0，5)代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－6x＋5.(2)D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；解：联立解得∴直线AB与抛物线交于点(－1，12)和(5，0)．∵D是直线AB下方抛物线上的一点，∴设点D的坐标为(m，m2－6m＋5)，且－1＜m＜5.如图1，过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，∴点E的坐标为(m，－2m＋10)，∴DE＝－2m＋10－(m2－6m＋5)＝－m2＋4m＋5.∵S△ABD＝∴m＝2，∴点D的坐标为(2，－3)．(3)P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离.解：设点P的坐标为(n，n2－6n＋5)，∴AP2＝(n－5)2＋(n2－6n＋5)2，BP2＝n2＋(n2－6n＋5－10)2，AB2＝125.如图2，当点A为直角顶点时，BP2＝AB2＋AP2，解得或5(舍去)；如图3，当点B为直角顶点时，AP2＝AB2＋BP2，解得或而抛物线对称轴为直线x＝3，则综上所述，点P到抛物线的对称轴的距离为或或3.(2020·潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋8(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为点D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求抛物线的解析式；解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋8(a≠0)过点A(－2，0)和点B(8，0)，∴解得∴抛物线的解析式为(2)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；解：在中，当x＝0时，y＝8，∴点C的坐标为(0，8)．又∵点B的坐标为(8，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋8.∵S△ABC＝2(1)AB·OC＝2(1)×10×8＝40，∴S△PBC＝5(3)S△ABC＝24.过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F.设点P的坐标为∴点F的坐标为(t，－t＋8)，∴PF＝∵S△PBC＝2(1)PF·OB＝24，∴，解得t＝2或t＝6，∴点P的坐标为(2，12)或(6，8)．(3)N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：∵C(0，8)，B(8，0)，∠COB＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形．抛物线的对称轴为∴点E的横坐标为3.又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴点E的坐标为(3，5)．设点M的坐标为(3，m)，点N的坐标为①如图1，当MN＝EM，∠EMN＝90°时，此时△NME∽△COB，则解得或m＝0(n＝－2，)(舍去)，∴点M的坐标为(3，8)；②如图2，当ME＝EN，∠MEN＝90°时，△MEN∽△COB，则解得或(舍去)，∴点M的坐标为③如图3，当MN＝EN，∠MNE＝90°时，连接CM，故当点N为点C关于对称轴l的对称点时，△MNE∽△COB，此时四边形CMNE为正方形，∴CM＝CE.∵C(0，8)，E(3，5)，M(3，m)，∴∴，解得m＝11或m＝5(舍去)，∴点M的坐标为(3，11)．综上所述，在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为(3，8)或或(3，11)．4.(2020·青海)如图，抛物线经过B，D两点，与x轴的另一个交点为点A，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；解：把B(3，0)，D代入抛物线的解析式，得解得∴抛物线的解析式为(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；解：令x＝0，得∴点C的坐标为令y＝0，得解得x＝－1或x＝3，∴点A的坐标为(－1，0)．

∴点M的坐标为(1，2)，如图1，连接OM，S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上.要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标.解：设点Q的坐标为(0，n)，①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，(a)当点P在点Q左边时，点P的坐标为(－4，n)．把P(－4，n)代入，得∴点P的坐标为(b)当点P在点Q右边时，点P的坐标为(4，n)．把P(4，n)代入，得∴点P的坐标为②当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ