专题55函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用2

专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用【核心素养】1.通过三角函数式的化简、求值或求角问题，结合拆角、凑角方法，综合考查和差倍半三角函数公式的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．应用三角恒等变换，首先化简三角函数式，进一步研究三角函数的图象和性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．知识点一知识点一三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：－知识点知识点二三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图象;把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】把函数向上平移个单位，得到函数的图象;把函数向下平移个单位，得到函数的图象.伸缩变换:把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.知识点知识点三函数的图象与性质（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.常考题型剖析常考题型剖析题型一：求三角函数解析式【典例分析】例1-1.【多选题】（2023春·江西南昌·高一校联考阶段练习）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，入口处距离地平面时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点，下列结论正确的是（

）

A．函数的最小正周期为12B．时，过山车距离地平面C．时，过山车距离地平面D．一个周期内过山车距离地平面低于的时间是例1-2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．例1-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

【规律方法】1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－eq\f(φ,ω)，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－eq\f(φ,ω)，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.【变式训练】变式1-1.（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．变式1-2.【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）

A． B． C． D．变式1-3.（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则.题型二：三角函数图象的变换例2-1.（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度例2-2.（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2-3.（2020·江苏·统考高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.【规律方法】x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的．2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的eq\f(1,ω)倍，而不涉及φ．3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|eq\f(φ,ω)|个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|eq\f(φ,ω)|个单位长度，即x→x＋eq\f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．4.函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．【变式训练】变式2-1.（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．变式2-2.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（

）A． B． C． D．变式2-3.【多选题】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（

）A． B． C． D．题型三：三角函数模型的应用【典例分析】例3-1．（2023春·北京海淀·高一统考期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在坚直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒例3-2.（2023春·北京东城·高一统考期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．例3-3.（2023春·江西上饶·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)求函数的表达式；(2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；(3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．【变式训练】变式3-1.（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（

）

A．、、B．当时，点到轴距离的最大值是C．当时，函数单调递减D．当时，变式3-2.【多选题】（2023春·陕西安康·高一统考期末）凤凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年（1704年），是中国历史文化名城，国家AAAA级景区，与山西平遥古城媲美，享有“北平遥､南凤凰”的美誉.在其母亲河沱江上有一个水车，半径为4米（示意图如图所示），水车圆心距离水面2米，已知水车每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水车上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（

）

A．点P第一次到达最高点需要10秒B．当水车转动35秒时，点P距离水面2米C．当水车转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为变式3-3.（2023春·云南昆明·高一统考期末）小乐所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图一），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM（图二）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁前曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系（图二），设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为.

(1)设图二中线段OH卷后形成的圆弧（图一）对应的圆心角为（rad），求与的关系式；(2)求裁剪曲线的解析式.题型四：三角函数图象与性质的综合应用【典例分析】例4-1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．例4-2.【多选题】（2023·山东潍坊·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．函数的最大值为 D．方程在上有5个实数根例4-3.（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:①;

②的单调递增区间为，（）;③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;④.其中正确的序号是.例4-4.（2023·北京·统考高考真题）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【总结提升】1.此类问题一般分两步，第一步，应用三角恒等变换公式，将三角函数式化为正弦型三角函数；第二步，结合三角函数的图象，研究函数的性质.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时应将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．【变式训练】变式4-1.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式4-2.【多选题】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C．若，则的值可以是D．函数有4个零点变式4-3.（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为．

变式4-4.（2023·全国·高三对口高考）已知．若的最小正周期为．(1)求的表达式和的递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2020·天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、多选题3.（2023春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标，某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，，以下说法正确的是（

）

A．B．函数的最小正周期为C．，D．若是偶函数，则的最小值为24.（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数的图象，只需将的图象（）A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递