四川省资阳市东山中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

四川省资阳市东山中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，） C．（0，） D．[，e]参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．2.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案： D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．【解答】解：∵由函数图象可得：A的值为1，周期T=4×（﹣）=π，∴ω===2，又函数的图象的第二个点是（，0），∴2×+φ=π，于是φ=，则f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∵g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，∴为了得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．3.函数是（

）A.非奇非偶函数

B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数

D.既有最大值又有最小值的偶函数参考答案：D4.右图是2014年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（

）A、84，4.84 B、84，1.6

C、85，4

D、85，1.6 参考答案：D略5.已知函数，（为常数，）在处取得最小值，则函数是偶函数，且它的图像关于对称 是偶函数，且它的图像关于对称是奇函数，且它的图像关于对称 是奇函数，且它的图像关于对称参考答案：D6.设等差数列的前项和为，若，，则等于

．参考答案：

7.设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：；②；③；

④ （）A．①④ B．②③ C．①② D．①②④参考答案：A略8.若实数满足不等式组

则的最大值是

A．11

B．23

C．26

D．30参考答案：D做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得，所以最大值为30，选D.9.若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．分析： 由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答： 解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=﹣1kAB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．10.已知定义域为的函数是奇函数，当时，||，且对，恒有，则实数的取值范围为（

）A．[0，2]

B．[，]

C．[1，1]

D．[2，0]参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），则圆心到直线的距离是

.参考答案：

12.设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是_____参考答案：13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5m44.56及y关于t的线性回归方程，则实验数据中m的值为

．参考答案：3【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵=5，=，∴这组数据的样本中心点是（5，），∵关于y与x的线性回归方程，∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，∴m的值为3．故答案为3．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．14.已知，，则__________．参考答案：315.已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为

．参考答案：2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．解答： 解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=故答案为：2．点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．16.已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α=．参考答案：【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据定义求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，3），根据三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，则sin2α=2sinαcosα==，故答案为：．17.如图所示，在中，为边上的一点，且，若（），则_____________.参考答案：【分析】本题考察向量的线性表示，属于常规问题，难度适中，可以通过两个思路去解决问题，第一，利用几何关系处理问题，通过建立平行线寻找几个向量的关系；第二，则可以使用向量之间的相互表达的手段去处理，或者直接使用共线定理（即：若共线，且，则）。【解】方法一：由于，则，其中，，那么可转化为，可以得到，即，则，那么，故填.方法二：直接利用共线定理，，则，则，则，那么，故填.方法三：利用几何方法，如右图所示构造辅助线，做的三等分点，根据平行线等分定理则，在新构造的中，，又，，那么，可以得到，则，那么，故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）若CD=2，求四棱锥A﹣BCDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取线段AC的中点F，连接BF．通过BF⊥AC，CD⊥BF，证明BF⊥平面ACD，推出EM∥BF，然后证明EM∥平面ABC．（Ⅱ）连接MF，证明BE∥平面ACD，推出BE∥MF，证明四边形BEMF为平行四边形，然后证明CD⊥AB，推出AB⊥平面BCDE，求解棱锥的底面面积，求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取线段AC的中点F，连接BF．因为AB=BC，所以BF⊥AC，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，又AC∩CD=C，所以BF⊥平面ACD，因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，又EM?平面ABC，BF?平面ABC，所以EM∥平面ABC．（Ⅱ）解：连接MF，因为BE∥CD，BE?平面ACD，CD?平面ACD，所以BE∥平面ACD，又平面BEMF∩平面ACD=MF，所以BE∥MF，由（Ⅰ）知EM∥BF，所以四边形BEMF为平行四边形，所以BE=MF．因为F是AC的中点，所以M是AD的中点，所以．因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，又BC⊥AB，所以AB⊥平面BCDE，所以四棱锥A﹣BCDE的体积．19.已知函数，其中．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=1时，证明：；（3）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）参考答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知，令，则可得，再通过进行放缩，证得，从而得到所证结论.【详解】（1）函数的定义域为，①当时，，所以在上单调递增②当时，令，解得：当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）当时，要证明，即证，即设则，令得，当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点所以，即故（3）由（2）（当且仅当时等号成立）令，则所以即所以【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明.20.(12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．参考答案：21.(13分)甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0．5，0．6，0．4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0．6，0．5，0．75．（I）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；（Ⅱ）求甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格的概率参考答案：（I）分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B。则==……6分（Ⅱ）甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格概率均为……9分记甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格为事件C。则P(C)=……13分22.如图所示，在三棱锥