中考专题复习-三角形

中考专题复习——三角形第1讲一般三角形及其性质一、知识清单梳理知识点一：三角形的分类及性质（1）按角的关系分类直角三角形、锐角三角形、钝角三角形（2）按边的关系分类等边三角形、等腰三角形、不等边三角形关键点拨与对应举例1.三角形的分类在运用分类讨论思想计算三角形周长时，必须考虑三角形的三边关系。举例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15。2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（1）内角和定理：①三角形的内角和等于180°；②推论：直角三角形的两锐角互余。（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角。3.角的关系（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件。（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方程才能够求解。4.三角形中的重要线段高、中线、角平分线、角平线上的点到角两边的距离相等。中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。钝角三角形的三条高相交于三角形的外部。5.三角形角与角平分线的规律如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=1/2（∠BAC-∠CAE）=(180°-∠B-∠C+∠A)/2；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠O’；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=1/2（∠BAC-∠BCD）；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-1/2∠A。总结对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果。60°，即∠A=∠C=60°。如果AB=AC，则三角形ABC是等边三角形。知识点二：直角三角形（1）性质①勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²；②特殊角的三角函数值：sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边；③直角三角形中，角度大于45°的角对应的斜边最长，角度小于45°的角对应的直角边最长；④勾股数：能够表示成两个正整数平方和的自然数称为勾股数，如3、4、5就是勾股数；⑤勾股数的性质：如果a、b是勾股数，且a、b互质，那么a、b必定是奇数偶数交替出现的，且c=a²+b²也是勾股数.（2）判定①定义：有一个角为直角的三角形是直角三角形；②勾股定理：如果三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.三、重点难点解析1.全等三角形的判定全等三角形是指对应的边和对应的角都相等的两个三角形，判定全等三角形的方法有四种：SSS、SAS、ASA、AAS。其中SSA和AAA不能判定两个三角形全等。2.直角三角形的勾股定理勾股定理是指直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的应用范围很广，可以用来求解各种三角形问题，如求三角形的边长、角度等。3.勾股数的性质勾股数是指能够表示成两个正整数平方和的自然数，如3、4、5就是勾股数。勾股数有很多有趣的性质，如勾股数的倍数仍然是勾股数，勾股数的个数是无限的等等。掌握勾股数的性质，可以更好地理解勾股定理的应用。等边对等角：若三角形的两个角相等，则该三角形为等腰三角形，其中30°、120°或75°、75°为等边三角形的角度。性质：①边角关系：等边三角形的三边相等，三角度均为60°，即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴。判定：①定义：三边相等的三角形是等边三角形；②三个角均为60°的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形。即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形。角平分线：性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，即若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB。判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。垂直平分线：性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等，即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB。判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。直角三角形：性质：①等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质；②等边三角形有一个特殊的60°角，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB。判定：有一个角为直角的三角形为直角三角形，即若∠C＝90°，则△ABC为Rt△。面积公式：S=1/2ch=1/2ab（其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高）。性质：①30°角所对的直角边等于斜边的一半，即若∠B＝30°则AC＝AB；②斜边上的中线长等于斜边长的一半，即若CD是中线，则bCD＝AB；③勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。(2)如果三角形的一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。换句话说，如果三角形的中线AD等于BD和CD，那么三角形ABC是直角三角形。(3)勾股定理的逆定理是，如果三角形ABC满足a²+b²=c²，那么三角形ABC是直角三角形。在求解长度时，常常需要使用勾股定理。如果已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三边的长度。但是如果斜边的长度未知，则需要分类讨论。在解决折叠问题中，通常需要结合勾股定理来列方程求解长度。直角三角形的判定有两个基本定理，即如果三角形的一条边的中线等于这条边的一半，或者三角形满足勾股定理的逆定理，那么这个三角形是直角三角形。比例线段有四条线段a、b、c、d，如果a与b的比等于c与d的比，则这四条线段成比例线段。常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值。比例线段有三个基本性质，即比例的基本性质、合比性质和等比性质。如果两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如果平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如果平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。在利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，需要根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解。给定的角度和三角形边长来计算，注意单位一致性。例如，若给定角度为30°，边长单位为cm，则计算sin30°时需要将斜边的长度换算成cm。知识点二：三角函数的基本性质三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等基本性质。应用这些性质可以简化计算，找到函数的特点和规律。知识点三：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过定义或基本三角函数公式直接计算得出。掌握这些值可以方便地计算其他角度的三角函数值。知识点四：三角函数的图像和性质三角函数的图像具有特定的形状和特点，如正弦函数的周期为2π，振幅为1，值域为[-1,1]。掌握这些性质可以帮助理解三角函数的变化规律和应用。知识点五：三角函数的应用三角函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如在三角测量中用于求解角度和距离，以及在振动、波动、电路等方面的分析和计算中用到。知识点六：相似三角形的性质与判定相似三角形具有对应角相等、对应边成比例的性质。根据这些性质可以进行相似三角形的判定和计算，如利用相似三角形的面积比例求解问题。知识点七：直角三角形的性质与应用直角三角形具有勾股定理和三角函数的特殊性质，可以用于求解各种角度和边长问题，如在三角形的面积计算、航空、导航、测量等方面有广泛的应用。锐角三角函数是用来求解直角三角形中某个锐角的三个函数，包括正弦、余弦和正切。根据定义，正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。有时需要通过辅助线来构造直角三角形，以严格按照三角函数的定义求解。特殊角的三角函数值可以通过记忆或计算得出。例如，30°的正弦值是1/2，余弦值是√3/2，正切值是1/√3。知道特殊角的三角函数值可以方便地解决一些问题。解直角三角形是指在已知直角三角形中，通过已知的元素求出其他未知元素的过程。在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。解直角三角形的常用关系包括三边之间的勾股定理，锐角之间的和为90°，以及边角之间的三角函数关系。解直角三角形的应用包括仰角、俯角、坡度、坡角和方向角。仰角和俯角是指视线在水平线上方或下方的角度，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，坡角是坡面与水平面的夹角，方向角是观测点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角度。解题时，可以通过叠合式或背靠式的模型，或通过公共边相等，列方程求解。解直角三角形的一般步骤包括弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型，将条件转化