(完整版)椭圆基础练习题

(完整版)椭圆基础练习题椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c（c<a），称为椭圆的长轴，线段AB的长度为2b（b<a），称为椭圆的短轴。椭圆的离心率为e=c/a，离心率小于1。椭圆的标准方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的一半。选择题1.若F1（3，0），F2（-3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A.(x^2/16)+(y^2/9)=1B.(x^2/9)+(y^2/16)=1C.(x^2/25)+(y^2/16)=1答案：B2.一动圆与圆x^2+y^2+6x+5=0及圆x^2+y^2-6x-91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案：A3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.4B.5C.6D.1答案：B4.已知坐标平面上的两点A（-1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段答案：D5.椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A.1B.8C.6D.不确定答案：C6.已知两点F1（-1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A.(x^2/4)+(y^2/3)=1B.(x^2/3)+(y^2/4)=1C.(x^2/5)+(y^2/4)=1D.(x^2/4)+(y^2/5)=1答案：A7.已知F1、F2是椭圆(x^2/16)+(y^2/9)=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A.16B.11C.8D.3答案：B8.设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程(x-a)^2/16+(y-b)^2/9=1表示焦点位于y轴上的椭圆的个数是（）A.5个B.1个C.2个D.3个答案：B9.方程(x-1)^2/25+(y+2)^2/16=10，化简的结果是（）A.(x-1)^2/2.5^2+(y+2)^2/2^2=1B.(x-1)^2/5^2+(y+2)^2/4^2=1C.(x-1)^2/10^2+(y+2)^2/8^2=1D.(x-1)^2/2^2+(y+2)^2/2.5^2=1答案：B10.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A.[1，4]B.[2，6]C.[3，5]D.[3，6]答案：C11.设定点F1（0，-3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在答案：B12.已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，-4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A.x^2/16+y^2/25=1B.x^2/25+y^2/16=1C.x^2/9+y^2/16=1D.x^2/16+y^2/9=1，(x≠0)答案：D13.已知P是椭圆(x^2/16)+(y^2/9)=1上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A.3/4B.4/3C.5/4D.4/5答案：B14.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件答案：C15.如果方程(x^2/25)+(y^2/m^2)=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A.3＜m＜4B.2＜m＜5C.1＜m＜6D.0＜m＜6答案：B3．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，且过点（0，3）的切线与椭圆交于点P和Q，则△FPQ的面积为（）A．2/3B．8/9C．4/3D．16/9解答：解：设椭圆方程为则b=2，c=4/3a，a2=b2+c2=52，则a=4.因为过点（0，3）的切线与椭圆交于点P和Q，则PQ是椭圆的直径，且PQ的中点坐标为（0，0）.∴F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是PQ的两个端点，又因为离心率为2/3，故PF1=2a/3，PF2=4a/3，则△FPQ的高为b=2，底为2a=8，面积为8/3，故选C．4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(9-16/9)=√(65/9)，因此，椭圆的方程为故选A．5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的面积为（）A．4π/3B．8π/3C．16π/9D．32π/9解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的面积为πab=π×3×√(65/9)=3π√65，故选D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的周长为（）A．2πB．4π/3C．8π/3D．4π解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的周长为2πb+4(a-b)=2π√(65/9)+4(3-√(65/9))，化简得周长为4π/3，故选B．7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的长轴与短轴的长度之比为（）A．1：√(65)/3B．√(65)/3：1C．1：√(26)/3D．√(26)/3：1解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的长轴与短轴的长度之比为a:b=3:√(65)/3，化简得√(65)/3:1，故选B．8．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的方程可以表示为（）A．B．C．D．解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的方程为故选A．9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的离心率的值为（）A．2/3B．4/5C．3/4D．5/6解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，椭圆的离心率为c/a=4/9，故选D．10．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的焦距为（）A．2B．4/3C．4D．8/3解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，椭圆的焦距为2c=8/3，故选D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的面积与其长轴的乘积为（）A．6πB．9πC．12πD．18π解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的面积为πab=3π√(65/9)，椭圆的长轴为2a=6，故椭圆的面积与其长轴的乘积为18π，故选D．12．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的周长与其长轴的乘积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆的周长为2πb+4(a-b)=2π√(65/9)+4(3-√(65/9))，椭圆的长轴为2a=6，故椭圆的周长与其长轴的乘积为16π，故选D．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的短轴与其离心率的乘积为（）A．2/3B．4/3C．2D．8/3解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，椭圆的离心率为c/a=4/9，b=√(a2-c2)=√(65/9)，故椭圆的短轴与其离心率的乘积为2b×(4/9)=8/3，故选D．14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的左、右顶点的坐标分别为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（﹣5，0），（5，0）D．（﹣6，0），（6，0）解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，椭圆的左、右顶点的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），故选A．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，则椭圆的上、下顶点的坐标分别为（）A．（0，√(65)/3），（0，﹣√(65)/3）B．（0，√(26)/3），（0，﹣√(26)/3）C．（0，2√(2/3)），（0，﹣2√(2/3)）D．（0，2√(3/2)），（0，﹣2√(3/2)）解答：解：因为椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为2/3，∴椭圆的中心为（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，椭圆1.因此点的轨迹是以焦点为A、B，中心在(0,0)的椭圆。2.已知点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5，因此a=5。由椭圆的定义可知，P到另一个焦点的距离为2a-5=5，故P到两个焦点的距离之和为2a=10，选B。3.已知点A(-1,0)和点B(1,0)，动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是线段AB，选D。4.根据题意可得点P在线段AB上运动，因此动点P的轨迹是线段AB，选D。5.根据椭圆的定义可知，动点P到两个焦点的距离之和为2a=8，选B。6.已知F1(-1,0)和F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则点P在以F1、F2为焦点的椭圆上。由a=2、c=1可得b^2=3，因此椭圆的方程是(x^2)/4+(y^2)/3=1，选C。7.由椭圆的定义可得|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，因此|AF1|+|BF1|=16-5=11，选B。8.焦点位于y轴上的椭圆则a<b。当b=2时，a=1；当b=3时，a=1、2；当b=4时，a=1、2、3；当b=5时，a=1、2、3、4。因此共有1个焦点位于y轴上的椭圆，选B。9.根据两点间的距离公式可得|PF1|=√(x-2)^2+y^2，|PF2|=√(x+2)^2+y^2。因此原等式化简为√(x-2)^2+y^2+√(x+2)^2+y^2=10，选A。1.因为|F1F2|=2<10，根据椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，其中a=5，c=2，因此b^2=21。所以椭圆的方程为：(x^2)/25+(y^2)/21=1，表示点P(x,y)与点F1、F2的距离之和为10。因此答案为D。2.动点P的轨迹是以A、B为左、右焦点，定长2a=8的椭圆。因为2c=2，所以c=1，因此2a=8，所以a=4。当P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大、最小值，因此|PA|≥a-c=3，|PA|≤a+c=5。所以|PA|的取值范围是3≤|PA|≤5，答案为C。3.根据题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，而且|F1F2|=6，因此点P的轨迹是线段F1F2，答案为B。4.根据题意可得：△ABC的周长为20，顶点B(-4,0)，C(4,0)，因此BC=8，AB+AC=12。因为12>8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，因此点A的轨迹是椭圆。椭圆的方程为(x^2)/36+(y^2)/20=1，其中(x≠0)，答案为B。5.已知P是椭圆(x^2)/16+(y^2)/9=1上的一点，根据椭圆的定义可知a=4，b=3，c=√7。因此离心率e=c/a=√7/4，P到焦点的距离为a*e=√7，P到一条准线的距离为b=3，所以P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为3/√7，答案为D。6.命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”。因为椭圆的定义是到两个焦点距离之和为定值的点的轨迹，所以乙成立的必要条件是甲成立。但是甲成立并不一定意味着乙成立，因为甲可能成立的情况下，P的轨迹也可能是双曲线、抛物线或直线等其他图形。因此甲是乙成立的必要不充分条件，答案为B。当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆。如果没有加上的条件，不一定能推出动点的轨迹是椭圆。但是，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，因此一定能够推出|PA|+|PB|是定值。因此，甲是乙成立的必要不充分条件。答案为B。如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是3＜m＜4。因此答案为D。“mn＞”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件。当mn＞时，方程mx2+ny2=mn可化为；而当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞，n＞，故mn＞成立，=1。当n＜，m＜时方程不是椭圆的方程，故“mn＞”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件。答案为A。已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是椭圆。其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆。答案为A。已知A（﹣1，），B（1，），若点C（x，y）满足，两边平方可得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得3x2+4y2=12。因此，点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=。因此，该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，），B（1，），根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4。答案为B。在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是。根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，即。又e＜1，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，故。因此，该椭圆离心率的取值范围为。答案为B。二．填空题（共7小题）20.方程$\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$表示椭圆，$\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$表示椭圆，则$k$的取值范围是$k>3$。21.已知$A(-1,0),B(1,0)$，点$C(x,y)$满足$|AC|+|BC|=4$，则点$C(x,y)$在以点$B$为焦点，以直线$x=4$为准线的椭圆上，故$c=1,a=2$，$|AC|+|BC|=2a=4$，故答案为$4$。22.设$P$是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上的点。若$F_1,F_2$是椭圆的两个焦点，则$PF_1+PF_2=10$。23.若$k\inZ$，则椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{(k+1)^2}=1$的离心率是$\frac{\sqrt{k^2+2k}}{|k+1|}$。依题意可