人教版高一数学下学期必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元达标高分突破基础卷(含解析)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1．（2023·全国·高一课时练习）给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2022·全国·高一）设、是非零向量，则“、共线”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在中，．若，，则（）

A．B．

C．D．

4．（2023·全国·高一课时练习）已知，，且，则在上的投影向量为（）

A．B．C．D．

5．（2023·全国·高一课时练习）设向量，，如果向量与平行，那么的值为（）

A．B．C．D．

6．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（）

A．不可以表示平面内的所有向量；

B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；

C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；

D．若存在实数使，则.

7．（2023·江苏宿迁·高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

8．（2023·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则△面积的最大值为（）

A．B．C．D．

多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．（2023·江苏·邳州宿羊山高级中学高一阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点在边的延长线上

C．若，则点是的重心

D．若，且，则的面积是的面积的

10．（2023·重庆市第二十九中学校高一期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得

B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的重心，则

11．（2023·重庆第二外国语学校高一阶段练习）以下关于正弦定理或其变形正确的有（）

A．在ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC

B．在ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b

C．在ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinB都成立

D．在ABC中，

12．（2023·河北·沧州市一中高一阶段练习）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（）

A．是等边三角形

B．若，则，，，四点共圆

C．四边形面积最大值为

D．四边形面积最小值为

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2023·上海·高一期末）已知向量，，．若，则________．

14．（2023·安徽·蚌埠田家炳中学高一阶段练习）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

15．（2023·全国·高一课时练习）设向量，若，则______________.

16．（2023·全国·高一专题练习）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2023·山东枣庄·高一期中）已知向量与的夹角为，且，.

（1）若与共线，求k；

（2）求，；

（3）求与的夹角的余弦值

18．（2023·云南·昆明八中高一阶段练习）如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.

（1）用向量，表示；

（2）假设，用向量，表示并求出的值.

19．（2023·河北·深州长江中学高一期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

20．（2023·广东·中山市第二中学高一阶段练习）在中，设角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

21．（2023·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角C的值；

（2）若，当边c取最小值时，求的面积．

22．（2023·重庆市江津中学校高一阶段练习）如图，在四边形中，，，.

（1）求；（2）若，求周长的最大值.

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）全解全析

1．B

【解析】

【分析】

根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．

【详解】

对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：B．

2．B

【解析】

【分析】

利用特例法结合共线向量的性质以及充分条件、必要条件的定义判断了得出结论.

【详解】

解：已知、是非零向量，若、共线，取，则，

另一方面，若，则、方向相同，

即“”“、共线”，

因此，“、共线”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

3．C

【解析】

【分析】

根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.

【详解】

因为．且，，

所以，

，

，

.

故选：C

4．C

【解析】

【分析】

由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.

【详解】

因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.

故选：C

5．D

【解析】

【分析】

求出与的坐标，根据两向量平行求出的值，即得解.

【详解】

解：，

所以.

所以.

故选：D

6．D

【解析】

【分析】

根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.

【详解】

由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；

对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，

那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；

对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，

或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；

故选：D.

7．A

【解析】

【分析】

根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状

【详解】

因为，由正弦定理可得：，

整理可得：，

即，所以或者，

所以或，

而当时则，

所以三角形为直角三角形，

所以，

则中，这时，分母为0无意义

所以，

故选：A．

8．C

【解析】

【分析】

由正弦定理边角关系得，则，由题设得，结合二次函数的性质即可求△面积的最大值.

【详解】

∵，

∴由正弦定理得且，即且，

∴，

∴时，△面积取最大值．

故选：C．

9．ACD

【解析】

【分析】

判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.

【详解】

A中：,即：

,则点是边的中点

B.,则点在边的延长线上，所以B错误.

C.

设中点D,则,，由重心性质可知C成立.

D．且设

所以，可知三点共线，所以的面积是面积的

故选择ACD

【点睛】

通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.

10．AD

【解析】

【分析】

由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.

【详解】

对于选项A：由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：，若与的夹角为锐角，则

解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】

易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况.两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.

11．ACD

【解析】

【分析】

对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinBa＞bA＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12．AC

【解析】

【分析】

利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．

【详解】

由正弦定理，

得，

，

，B是等腰的底角，，

是等边三角形，A正确；

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确知，

但由于时，

，

∴B不正确．

C正确，D不正确：

设，则，

，

，

，

，

，

，

，∴C正确，D不正确；

故选：AC.．

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

13．

【解析】

【分析】

由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】

由题可得

,即

故答案为

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

14．.

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.

【详解】

因为，

结合正弦定理可得，

可得，因为，

结合余弦定理，可得，

所以为锐角，且，从而求得，

所以的面积为，故答案是.

【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

15．5

【解析】

【分析】

根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】

由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案为：5.

【点睛】

本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

16．.

【解析】

【分析】

建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．

【详解】

建立如图所示的直角坐标系，则，．

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为．

由得，，

所以．

所以．

【点睛】

平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．

17．（1）；（2），；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用向量共线定理即可求解.

（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.

（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.

【详解】

（1）若与共线，

则存在，使得

即，

又因为向量与不共线，

所以，解得，所以.

（2），

，

（3）.

18．（1）；（2），.

【解析】

【分析】

（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；

（2）把，作为基底，表示出，利用求出.

【详解】

解：由题意得，，所以，

（1）因为，，

所以

.

（2）由（1）知，而

而

因为与不共线，由平面向量基本定理得

解得

所以，即为所求.

【点睛】

在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.

【详解】

（1）

即：

由正弦定理可得：

（2），由正弦定理得：

又，

整理可得：

解得：或

因为所以，故.

（2）法二：，由正弦定理得：

又，

整理可得：，即

由，所以

.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

20．（1）；（2）