江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高一下学期5月质量监测数学试题（解析版）

金沙中学2022级高一（下）5月质量监测数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知且，若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义求解即可【详解】因为集合，且，所以，故选：C2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题3.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则，所以其侧面积为，解得，所以圆锥的高为.故选：C.4.复数满足（为虚数单位），则的最小值为（）A.3 B.4 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用复数在复平面内的几何意义，转化点到点的距离求解.【详解】设，复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动，表示点与复数的对应点的距离，故选：B.5.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切倍角公式和和角公式计算即可.【详解】由已知可得，所以.故选：B6.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答.【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A错误；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，B错误；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，C错误；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：D7.已知锐角三边长分别为，，，则实数取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数的取值范围.【详解】显然边长x<x+1,所以只需和的对角均为锐角即可，由余弦定理得：，解得：．故选：A【点睛】已知三边，判断是锐角三角形还是钝角三角形的方法：①如果一个三角形的最长边平方=其他两边的平方和，这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的最长边平方>其他两边的平方和，这个三角形是钝角三角形；③如果一个三角形的最长边平方<其他两边的平方和，这个三角形是锐角三角形；④特别地：如果一个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形，也是锐角三角形。8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度.【详解】由题意得：，，在中，，在中，，由正弦定理得：，即，解得：，由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，则（m）.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的实部是 B.z的共轭复数为C.z的实部与虚部之和为2 D.z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.若，则函数的值域为D.函数的单调递减区间为【答案】AD【解析】【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称.判断正确；选项B：，则函数的图象不关于直线对称.判断错误；选项C：由，可得，则，即若，则函数的值域为.判断错误；选项D：由，可得，即函数的单调递减区间为.判断正确.故选：AD11.已知向量，，则（）A.与方向相同的单位向量的坐标为B.当时，与的夹角为锐角C.当时，、可作为平面内的一组基底D.当时，在方向上的投影向量为【答案】BC【解析】【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误；对于B，当时，，，，所以，与的夹角为锐角，故B正确；对于C，当时，，，则，则与不平行，、可作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，当时，，，，，所以，故D错误．故选：BC.12.一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：其中正确结论的为（）A.直线与直线是异面直线；B.直线与直线是异面直线；C.直线与直线MN共面；D.直线与直线是异面直线.【答案】BCD【解析】【分析】作出直观图，根据异面直线的定义逐项判断即可.【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：对于A，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，故A错误；对于B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线与直线是异面直线，故B正确；对于C，N，Q重合，故直线与直线共面，故C正确；对于D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线与直线是异面直线，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定为_______．【答案】，【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，改写量词的同时否定结论，直接写出结果即可．【详解】命题“，”的否定为“，”故答案为：，．14.函数的零点个数为_________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果.【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数，即函数与的交点个数，作出函数与的图象如下图所示，由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，函数的零点个数为.故答案为：.15.若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】先在直观图求出的长，然后利用原图与直观图的关系求出原图的面积【详解】作，，因为，，所以，.因此.又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，所以该平面图形的面积为.故答案为：16.如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长度.【详解】取CD中点G，连接BG、EG，正方体中，，，四边形为平行四边形，则，E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面，而，，故梯形的周长为；取中点M，中点N，连接，则，故四边形平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数是纯虚数，是实数.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解；（2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算．【小问1详解】设且.则为实数，所以，所以，所以；【小问2详解】由（1），，所以．18.已知．（1）求的周期；（2）若，其中，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化简函数，再求函数周期；（2）由（1）知，再根据三角恒等变换，即可化简求值.【小问1详解】

所以的周期为.【小问2详解】，∴，由得，由，得，∴，∴

.19.在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________.（1）求角A的大小；（2）若，求角B的大小.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）若选①：由正弦定理和三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式，化简求得，即可求解；若选②：由已知可得，根据余弦定理求得，即可求解；若选③：由已知和三角恒等变换的公式化简得到，即可求解；（2）根据题意化简得到，结合，即可求解.【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得，可得，因为，所以.因为，所以.若选②：因为，可得，由余弦定理得.因为，所以.若选③：因为，可得，所以，即（，否则不合题意）因为，所以.（2）因为，所以.即，又因为，所以.原式可化为，化简得.因为，所以，所以或.所以或.20.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明线线平行，一般思路为利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化.（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理证明，即先证线面垂直.【小问1详解】因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为平面CDEF，平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．因为平面ABFE，平面平面，所以AB∥EF．【小问2详解】因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，，平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．21.在中，，，，.（1）用向量和向量分别表示向量，；（2）若，且角为直角，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据条件，结合向量加减法法则即可求解；（2）根据、角是直角即可求解的值.【小问1详解】；；【小问2详解】由题意可知，，，因角是直角，则，，化简为，此时，综上，的值是.22.如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．（1）证明：∥平面；（2）若，，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半