第四章向量线性相关性4 3组秩

要求：掌握求向量组的秩及最大无关组的方法；一、最大无关组与向量组的秩

1

,

2

,

,

r满足下面两个条件：1、最大线性无关向量组设有向量组A，如果能在A中选出r个向量（1）向量组A0

:

1

,

2

,

,

r

线性无关；（2）向量组A

中任意r

1

向量（如果A

中有r

1

个向量的话）都线性无关。则称向量组A0为向量组A

的一个最大线性无关向量组。简称为最大无关组。（极大无关组）2、向量组的秩3、规定只含零向量的向量组没有最大无关组。规定它的秩为0

。最大无关组所含向量的个数r

称为向量组的秩。向量组a1

,a2

,

,am的秩也记作R(a1

,a2

,

,am

)4、向量组

1

,

2

,

,

s

线性无关R(

1

,

2

,

,

s

)

s向量组

1

,

2

,

,

s

线性相关R(

1

,

2

,

,

s

)

s问题：1、向量组的秩与矩阵的秩有何联系？2、如何求向量组的最大无关组及向量组的秩？二、向量组的秩与矩阵秩的联系定理１矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证

设A

(a1

,

a2

,

,

am

)，R(

A)

r,并设r阶子式Dr

0.根据4.2定理4由Dr

0知所在的

r列线性无关；又由A中所有r

1阶子式均为零，知A中任意r

1个列向量都线性相关.

因此Dr

所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.

类似可证A的行向量组的秩也等于R(

A).2、最大无关组的求法若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.1、向量组的秩的求法向量组a1

,a2

,

,am的秩矩阵A

(a1

,a2

,

,am

)的秩1

2

r0

i

i

iA

:

,

,

,

n设为向量组A

:

1

,

2

,

,

的一最大无关组。向量组A0可由向量组A

线性表示 对于向量组中的任意一个向量

j，有向量组

i

,

i

,

,

i

线性无关1

2

rir

j

i

,

i

,

,

,

1

2向量组线性相关

线性表示ii

i1

2

r

,

,

,

可由向量组j

向量组A可由向量组A0线性表示3、向量组A0与向量组A

等价

1

,

2

,

,

r满足下面两个条件：设有向量组A，如果能在A中选出r个向量4、最大无关组的等价定义（1）向量组A0

:

1

,

2

,

,

r

线性无关；（2）向量组A

中的每一个向量都能由向量组A0

线性表示。则称向量组A0

为向量组A

的最大无关组。例

0

0

1

0 1

(

,

,

)

0

1 1

05、最大无关组不唯一显然有

,

线性无关，且

,

,

线性相关。从而

,

为向量组

,

,

的一个最大无关组同理

,

为向量组

,

,

的一个最大无关组6、最大无关组所含向量的个数相同0

i

i设1

2

r

1

2

s0

j

jA

:

,

,

,

i

B

:

,

,

,

j均为向量组A

:

1

,

2

,

,

n

的极大无关组问题：rsA0

为向量组A

:

1

,

2

,

,

n的极大无关组向量组A0

与向量组A

等价同理：向量组B0

与向量组A

等价向量组A0

与向量组B0等价R(

A0

)

R(B0

)r

s例1设向量组B能由向量组A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价.证明向量组B

能由向量组A

线性表示R(

A)

R(

A,

B)又R(

A)

R(B)

R(

A)

R(B)

R(

A,

B)向量组A

与向量组B等价例2

全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.解n

维单位坐标向量组为E

:

e1

,

e2

,

,

enE:e1

,e2

,

,en

线性无关；任意n

维向量都可由单位坐标向量组E:e1

,e2

,

,en

线性表示。故E:e1

,e2

,

,en

为Rn

的一个最大无关组。且Rn

的秩为n。任意n个线性无关的n

维向量都是Rn

的最大无关组设n个n维向量a1

,a2

,

,an线性无关，则向量组a1

,a2

,

,an

为Rn的一个最大无关组。即

94

4

2

1

1

1

2

1

2

1

4

6

2

23

6

9

7A

1例3 设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵知R(A)

3，A

0

1

1

2

1

4

0

1

1

1

0

，

0

0

1

3

0

0

0

0

0初等行变换~故列向量组的最大无关组含3个向量.而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，知R(a1

,a2

,a4

)

3，故a1

,a2

,a4线性无关要把a3

,a5用a1

,a2

,a4线性表示，必须将A再变成行最简形矩阵.有

7

4

（a1

,a2

,a4

)

1

2

1

1

1

1

6

2

3

6

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0初等行变换~

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行变换A

B记B

(b1

,b2

,b3

,b4

,b5

)则线性方程组

Ax

0

与

Bx

0

同解，即方程x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

x5a5

0x1b1

x2b2

x3b3

x4b4

x5b5

0与同解。x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

x5a5

0x1b1

x2b2

x3b3

x4b4

x5b5

0与同解。之间因此向量a1

,a2

,a3

,a4

,a5向量b1

,b2

,b3

,b4

,b5之间

有相同的线性关系

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行变换A

B又b3

b1

b2b5

4b1

3b2

3b4因此a3

a1

a2a5

4a1

3a2

3a4之间因此向量a1

,a2

,a3

,a4

,a5向量b1

,b2

,b3

,b4

,b5之间

有相同的线性关系

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行变换A

B1

21

23

9

5

5

4

,

5

4

1

3

2

3

1

1

2

,(b

,b

)

6(a

,a

)

0例4

已知证明向量组(a1

,a2

)与(b1

,b2

)等价.

2

3

5

4

2

6

4

1

1

5

3

3

1

9

51

2

1

2(a

,a

,b

,b

)

0证明

5

2

1

1

5

3

0

2

6

4

3

5

4

3

1

91

~

3r

r

2~r1

r3

0

1

1

5

3

0

2

6

4

3

5

4

3

1

9

5

1

1

5

3

0

2

6

4

5

15 10

0

2

6

4r3

2r1r4

3r1~~2r

(

2)

0

1

1

5 3

0

1

3 2

5

15

10

0

2

6

43

1r

2rr1

r3r4

3r1

0

1

1

5

3

0

2

6

4

5

15 10

0

2

6

4~

0

0~2r

(

2)

0

1

1

5 3

0

1

3 2

5

15

10

0

2

6

4

1

1

5

3

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r3

5r24

2r

2r~

0

0

1

1

5

3

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r3

5r24

2r

2r~0

.

0

1

0

2

1

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r1

r2r1

1

~

00

0

1

0

2

1

0

1

3

2

0

00

0

0~初等行变换(a1

,a2

,b1

,b2

)显然有R(a1

,a2

)

R(b1

,b2

)且向量组b1

,b2

可由向量组a1

,a2

线性表示，故向量组b1

,b2

与向量组a1

,a2

等价。例5：求向量组

1

(2,4,

2),

2

(1,1,