九年级数学上册第二十四章 圆（A卷·知识通关练）（解析版）

/第二十四章圆（A卷·知识通关练）核心知识1圆的概念与垂径定理1．下列说法正确的是（）A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍 D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上【分析】根据圆的相关概念进行分析即可．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．2．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】直接根据垂径定理得AB＝2AD＝6cm．【解答】解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，∴AB＝2AD＝6cm．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4 B．4 C．3 D．5【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（）A．3 B．4 C．2 D．5【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE，根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝BD＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2，由勾股定理得：AE＝＝2，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米【答案】A【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，故选：A．6．（2022·全国·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块【答案】A【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小【解答】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．7．如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是________．【答案】7【分析】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，根据，OM⊥AB，可得ON⊥CD，利用垂径定理可得AM=3，CN=4，结合后⊙O的半径为5，在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3，则问题得解．【解答】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，如图，∵，OM⊥AB，∴OM⊥CD，即ON⊥CD，∴AM=MB=AB，CN=ND=CD，∵AB=6，CD=8，∴AM=3，CN=4，∵⊙O的半径为5，∴AO=CO=5，∵OM⊥AB，即ON⊥CD，∴在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3，∵MN⊥AB，，∴AB与CD的距离即为线段MN的长，∴MN=OM+ON=4+3=7，故答案为：7．核心知识2．圆周角定理8．（2022•丰泽区校级模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（）A．75° B．65° C．50° D．40°【分析】首先利用点C是的中点确定△ABC是等腰三角形，然后利用圆周角定理求得顶角的度数即可求得∠D的度数．【解答】解：∵点C是的中点，∴＝，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝65°，∵∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠C＝∠D＝50°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是得到△ABC是等腰三角形，难度不大．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是上一点，则∠APD等于（）A．120° B．125° C．135° D．150°【分析】连接OC，AC，根据等腰三角形的性质和圆周角定理可求得∠COE的度数，根据圆内接四边形的性质即可求解．【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，∴OE＝OB＝OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确解直角三角形，求得∠COE的度数是关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（）A．13° B．16° C．18° D．21°【分析】连接CD，根据已知可得＝，从而可得BD＝BC，进而可得∠BDC＝∠BCD＝45°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB＝58°，从而求出∠DCE＝13°，最后根据同弧所对的圆周角相等即可解答．【解答】解：连接CD，∵点B是的中点，∴＝，∴BD＝BC，∵∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，∵∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝58°，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCB＝13°，∴∠ABE＝∠DCE＝13°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．12．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（）A． B． C．1 D．2【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【解答】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，∵AB为⊙O的直径，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．13．（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（）A．140° B．130° C．120° D．100°【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】根据圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．【解答】解：∵AB＝AD＝CD，∴，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．核心知识3．点与圆的位置关系15．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB＝120° B．ME＝MD C．AE+BD＝AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA＝60°，推出∠AMB＝120°；②正确，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理解决问题；③正确．在AB上取一点T，使得AT＝AE，利用全等三角形的性质证明BD＝BT，可得结论；④错误，无法判断∠M′与∠ABC互补．【解答】解：如图，∵∠C＝60°，∴∠CAB+∠CBA＝120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，∵∠EMD＝∠AMB＝120°，∴∠EMD+∠ECD＝180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE＝∠MCD，∴，∴EM＝DM，故②正确，在AB上取一点T，使得AT＝AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD＝BT，∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′＝∠AMC，∵∠AMC＝90°+∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，故选：D．【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．16．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是2.5．【分析】画出图形，当点在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．【解答】解：如图：当点M在圆外时，∵点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，∴直径AB＝6﹣1＝5，∴半径r＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．核心知识4．切线的性质及判定17．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（）A．68° B．64° C．58° D．56°【分析】先根据切线的性质得∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到∠APB的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠ACB＝62°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（）A．50° B．70° C．80° D．85°【分析】连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝140°，然后根据圆周角定理得到∠AQB的度数．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，∴∠AQB＝∠AOB＝70°．故选：B．【点评】本题看了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．19．（2022•泉港区模拟）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连结AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（）A．65° B．50° C．40° D．25°【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCB＝90°，再根据圆周角定理可得∠BOC＝50°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：连接OC，∵BC与半⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠A＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．【分析】（1）连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，即可解答；（2）连接AF，根据已知可得OD＝AD＝1，BD＝3，从而在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC＝5，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠AFB＝90°，从而可证△BDC∽△BFA，进而利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵OB＝OF，EF＝EC，∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：（2）解：连接AF，∵AB＝4，∴OA＝OB＝AB＝2，∵D是OA的中点，∴OD＝AD＝OA＝1，∴BD＝OB+OD＝3，在Rt△BDC中，AB＝CD＝4，∴BC＝＝＝5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BDC∽△BFA，∴＝，∴＝，∴BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝，∴CF的长为．【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．核心知识5．正多边形与圆21．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．【解答】解：如图，连接AC，EC．∵ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，∵AB＝4，∴AC＝CE＝AE＝4，∵AG＝GE＝2，∴CG⊥AE，∴CG＝＝＝6，故选：B．【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（）A．18° B．25° C．30° D．45°【分析】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是＝120°，∴∠1＝120°﹣90°＝30°，故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．23．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【分析】如图，连接AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论．【解答】解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM＝60°，∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，∵ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．24．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故选：D．【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．25．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．26．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【分析】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【点评】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．核心知识6．与圆有关的计算27．（2022•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，根据题意得：πr＝2π×4，解得：r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8cm，故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．28．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（）A．6π B．2π C．π D．π【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：∵直径AB＝6，∴半径OB＝3，∵圆周角∠A＝30°，∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的长是＝π，故选：D．【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【分析】根据图中阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣以AB的长为半径的半圆的面积，计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，∴AD＝＝8，∴S阴影部分＝×12×8﹣π×52＝48﹣．故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣以AB的长为半径的半圆的面积是解题的关键．30．如图，C是⊙O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度为（）A．π B．π C．π D．π【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠ADB，根据圆