三线合一性质的逆定理

一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理"三线合一"性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的局逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三求证："ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC,直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是"延长加倍",即延长AD到E点，使AD=ED,由此问题就解决了。证明：延长AD到E点，使AD=ED,连接CE在"ABD和"ECD中AD=DE…AD是/BAC的角平分线·~/BAD=/CAD~/CED=/CADF三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。求证："ABC是等腰三角形。分析：通过(ASA)的方法来证明"ABD和"ACD的全等，由此推出AB=AC得出"ABC是等腰三角形证明③:已知："ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证："ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用(SAS)的方法来证明"ABD和"ACD的全等，由此推出AB=AC得出"ABC是等腰三角形。(即垂直平分线的定理)(1)逆定理②的简单应用例题1求证：/2=71+/B分析：由“AD平分/BAC,CD⊥AD”推出AD所在的三角72=7AEC,又/AEC=71+7B,所以结论得证。(2)逆定理②与中位线综合应用例题1已知：如图，在"ABC中，AD平分7BAC,交BC于点D,过点C作AD的垂线，交AD分析：由已知可知，线段AE既是7BAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线"分别延长CE、AB交于点G”。例题2如图，已知：在”ABC中，BD、CE分别平分7ABC,7ACB,AG⊥BD于G,AF⊥CE于F,AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A的中点同理可得点F是AH的中点(3)逆定理②与直角三角形的综合应用例题1分析：由直角三角形的性质可知道7AQM=90°由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以N学习参考想到延长AQ交BC于点No…Q点是AN的中点例题2如图，在等腰"ABC中，/C=90°,如果点B到/A的平分线AD的距离为5cm,求AD的分析：已知条件满足了逆定理2,所以延长BE和AC,交再由"ADC和"BFC的全等对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的(4)逆定理③的简单应用(即垂直平分线的应用)例题1(2006年宝山区中考模拟题)开口向下，与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=x例题2如图，以"ABC的边AB,AC为边分别向形外边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢?于是就想到了添辅线AHBC,FJ⊥BC,分别交BC于点H,CB的延长线于I,BC的延长线于JBC,Dl=FJ也"BDI(AAS)抓住已知条件和结论的联系，(例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，)通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。(5)逆定理③在作图中的应用已知：线段m,/a及/3,求作"ABC,使/ABC=Za,ACB=/且AB+BC+CA=m作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为m以及外角的性质我们可以找到一顶点A,再由垂直平分线与边的交点找到另两个顶点作法：1、画射线OP,在OP上截取线段OQ=m,