第六章第一节-Lp空间简介课件

第一节Lp-空间简介

人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet首先定义了[0，1]上的平方可积函数空间，即第一节Lp-空间简介人们在用迭代方法解1第一节Lp-空间简介随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得到空间,考虑这些空间的一个基本思想是，不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现在则要将这些树木放在起构成一片森林。第一节Lp-空间简介随后,人们又进一步2第一节Lp-空间简介一.—空间的定义我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义的距离必须有意义，例如，对于中的两个函数，可以用定义它们的距离，但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以通过中的距离归纳出来，即下面的第一节Lp-空间简介一.—空间的定义3第一节Lp-空间简介定义1设是一个集合。的函数。满足：（i）对任意

（ii）对任意（iii）对任意（三角不等式）。则称是A上的距离是E上的Lebesgue可测函数，

设且

。第一节Lp-空间简介定义1设是一个集合。4第一节Lp-空间简介

对任意，显然仍是E上的可测函数，由于对任意实数，有

所以第一节Lp-空间简介对任意5第一节Lp-空间简介因此不难看出。从的定义，启发我们以下面的方式定义上的距离：由上面的讨论，显见对任意，有第一节Lp-空间简介因此不难看出6第一节Lp-空间简介

即上非负的有限函数。它是不是上的距离呢？为此，设，则得，于是，进而由此立得另一方面，若

第一节Lp-空间简介即7第一节Lp-空间简介则，从而。上述分析说明，并不是上的距离，但使的函数必有几乎处处相等的，反之亦然。因此，我们可以将中几乎处处相等的函数放在一起，从而构成新的集合：当且仅当第一节Lp-空间简介则8第一节Lp-空间简介

对任意，定义

不难看到，对任意，，恒有

故上面的定义是无歧义的，此外，若，则显然有。这样，作为上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。

第一节Lp-空间简介对任意9第一节Lp-空间简介

为方便起见，以后也用记，只要说则指的就是与几乎处处相等的函数类，若说则指的就是单一的函数。二。几个重要的不等式引理1设是正数，，，则等式成立当且仅当，或中有一个为0。第一节Lp-空间简介为方便起见，以后10第一节Lp-空间简介

证明：不妨设（情形可类似证明），由引理的条件知，于是要证的不等式可写成即记，则对任意，存在，使，因，所以，从而，第一节Lp-空间简介证明：不妨设11第一节Lp-空间简介

即。令

，立得

从证明过程可以看出，等号成立当且仅当或或0，证毕。定理1（霍尔德（Holder）不等式）设，（满足条件的称作共轭数），，，则第一节Lp-空间简介即12第一节Lp-空间简介

且。 （1）等式成立当且仅当与相差一个常数因子。证明：若中有一个为0，则（1）式显然成立（事实上，此时（1）式两边都为0），故不妨设均不为0。于是 都不为0，第一节Lp-空间简介且13第一节Lp-空间简介

记则由引理1，当，都不为0时，有

即

第一节Lp-空间简介记14第一节Lp-空间简介

且等号只有在即与只差一个常数因子时才成立，不等式两边作积分得，此即所要的不等式，证毕。定理2（Minkowski不等式）第一节Lp-空间简介且等号只有在15第一节Lp-空间简介设，，则（2）若，则等号只在与相差一个非负常数因子时成立。证明：当时，不等式显然成立，若,则不等式也是显然的，故不妨第一节Lp-空间简介设，16第一节Lp-空间简介

设，且，注意到时，，故其中是的共轭数，即，于是由Holder不等式得（3）第一节Lp-空间简介设17第一节Lp-空间简介

类似地，也有

（4）将两个不等式相加得

第一节Lp-空间简介类似地，也有18第一节Lp-空间简介

两边同除以立得所要的不等式。要使（2）式中的等号成立，必须且只需（3）、（4）及（5）的第一个不等式成为等式，而使（3）、（4）成为等式的充要

第一节Lp-空间简介19第一节Lp-空间简介

条件是，与都只差一常数因子.由于假设了从而，所以与只差一常数因子，即存在常数c，使进而。要使（5）中第一个不等式成为等式，必须有第一节Lp-空间简介条件是，20第一节Lp-空间简介这意味着与的符号在E上几乎处处相同，从而由得所以，证毕。