【教案】2.3二次函数与一元二次方程、不等式 教案

【教案】2.3二次函数与一元二次方程、不等式教案教学设计：教学目标：1.通过实际情境抽象出一元二次不等式，了解其现实意义；2.理解一元二次不等式的概念和二次函数的零点；3.通过二次函数的图像，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性；4.能够利用二次函数求解一元二次不等式；5.提升学生的数学抽象、数学运算和直观想象的核心素养。教学重点、难点：重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。教学方法：采用诱思探究式教学，以学生为主体，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、问题引入园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m²，则这个矩形的边长为多少米？解：设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（12-x）m。由题意，得（12-x）x>20，其中x∈(0,12)。整理得x^2-12x+20<0，x∈(0,12)。①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。设计意图：通过问题引入，引发学生思考，得到一元二次不等式，引入课题并出示本节教学目标。二、新知探究问题：什么是一元二次不等式？学生总结回答，说出定义。定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c均为常数，且a≠0。教师引导学生解读定义，强调关键词，目的加深学生对定义的理解。在初中，我们学习了一元一次不等式的解法，以x-3>0和x-3<0两个不等式为例，求出x=3的根，进而画出函数y=x-3的图像，通过图像写出不等式的解。类比这种解法，我们能否借助二次函数的图像求解一元二次不等式呢？设计意图：教师引导学生回顾一元一次不等式的解法，体会求解步骤，通过类比，有助于探究一元二次不等式的解法。探究一：一元二次不等式x^2-12x+20<0的解法1.求一元二次方程x^2-12x+20=0的根，x1=2，x2=10。2.将x轴分成三段，即x<2，2≤x≤10和x>10，分别代入原不等式，得到：当x<2时，x^2-12x+20>0；当2≤x≤10时，x^2-12x+20<0；当x>10时，x^2-12x+20>0。3.将不等式的解集表示出来，即x∈(2,10)。探究二：一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解法1.求一元二次方程ax^2+bx+c=0的根，分为三种情况：当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，记为x1和x2；当b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，记为x1=x2；当b^2-4ac<0时，方程无实数根。2.将x轴分成三段，即x<x1，x1≤x≤x2和x>x2，分别代入原不等式，得到：当x<x1时，ax^2+bx+c>0；当x1≤x≤x2时，ax^2+bx+c≤0；当x>x2时，ax^2+bx+c>0。3.将不等式的解集表示出来。设计意图：通过探究一元二次不等式的解法，引导学生理解二次函数图像与一元二次不等式的联系，提升数形结合思想的运用能力。三、练习巩固1.求解不等式x^2-6x+5>0。解：将x轴分成三段，即x<1，1≤x≤5和x>5，分别代入原不等式，得到：当x<1时，x^2-6x+5>0；当1≤x≤5时，x^2-6x+5≤0；当x>5时，x^2-6x+5>0。将不等式的解集表示出来，即x∈(1,5)的补集。2.求解不等式2x^2-4x-6≤0。解：将不等式化为2(x-2)^2-14≤0，即(x-2)^2≤7，再将x轴分成三段，即x<2-√7，2-√7≤x≤2+√7和x>2+√7，分别代入原不等式，得到：当x<2-√7时，2x^2-4x-6>0；当2-√7≤x≤2+√7时，2x^2-4x-6≤0；当x>2+√7时，2x^2-4x-6>0。将不等式的解集表示出来，即x∈[2-√7,2+√7]。设计意图：通过练习巩固，检验学生对于一元二次不等式的理解和掌握情况。四、课堂小结本节课程主要是围绕一元二次不等式展开的，通过实际问题引入，引发学生思考，探究一元二次不等式的概念和解法。通过二次函数的图像，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性。最后，通过练习巩固，检验学生对于一元二次不等式的理解和掌握情况。设计意图：对本节课程进行总结，强化学生对于本节课程的理解和记忆。2.画出一元二次函数$y=x^2-12x+20$的图像。3.当$2<x<10$时，函数图像位于$x$轴上方，此时$y<0$，即$x^2-12x+20<0$。因此，一元二次不等式的解集为$\{x|2<x<10\}$。从而解决了引例的问题。设计意图：通过以上三个步骤的设置，让学生自主探究具体的一元二次不等式的解法，进而推广到一般情况。问题：2和10是方程的根，是二次函数与$x$轴交点的横坐标，也叫做函数的零点。引出零点的定义。一般地，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们把使$ax^2+bx+c=0$的实数$x$叫做二次函数$y=ax^2+bx+c$的零点。注：一元二次函数的零点不是点，是实数。教师强调上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式$ax^2+bx+c>(a>0)$和$ax^2+bx+c<(a>0)$的解集。探究二：二次函数与一元二次方程、不等式的解对应关系下面我们以表格的形式探究三者之间的关系（学生分组讨论，合作交流）|判别式$\Delta$|$\Delta>0$|$\Delta=0$|$\Delta<0$||---|---|---|---||二次方程$ax^2+bx+c=0$的根|有两个相异实根$x_1,x_2$|有两个相等实根$x_1=x_2$|没有实数根||二次不等式$ax^2+bx+c>0$的解集|$\{x|x<x_1$或$x>x_2\}$|$\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$|$\mathbb{R}$||二次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集|$\{x|x_1<x<x_2\}$|$\varnothing$|$\varnothing$|讨论结束，教师提问学生，完成表格。三．典例分析、举一反三一元二次不等式的解法$\{x|x_1<x<x_2\}\quad\varnothing$例1：求不等式$x^2-5x+6>0$的解集。分析：因为方程$x^2-5x+6=0$的根是函数$y=x^2-5x+6$的零点，所以先求出$x^2-5x+6=0$的根，再根据函数图像得到$x^2-5x+6>0$的解集。解：对于方程$x^2-5x+6=0$，因为$\Delta>0$，所以它有两个实数根，解得$x_1=2$，$x_2=3$。画出二次函数$y=x^2-5x+6$的图像，结合图像得不等式$x^2-5x+6>0$的解集为$\{x|x<2$或$x>3\}$。设计意图：教师板书步骤，规范学生作答，强调关键语句。例2：求不等式$9x^2-6x+1>0$的解集。解：对于方程$9x^2-6x+1=0$，因为$\Delta=0$，所以它有两个相等实数根，解得$x_1=x_2=\frac{1}{3}$。画出二次函数$y=9x^2-6x+1$的图像，结合图像得不等式$9x^2-6x+1>0$的解集为$\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$。教师直接利用课件展示做题步骤，比较与例1的区别与联系。求不等式$-x+2x-3>0$的解集。解：不等式可化为$x-2x+3<0$。因为$\Delta=-8<0$，所以方程无实数根。画出二次函数$y=x-2x+3$的图象，结合图象得不等式$x-2x+3<0$的解集为$\emptyset$。方法总结：如何用图解法解一元二次不等式？(1)化标：将原不等式化为系数为正的标准形式。(2)求根：依据$\Delta=b^2-4ac$，判定方程根的情况。(3)画图。(4)写解集。巩固练习：求不等式$(8-\frac{2}{5}x-2.5\times0.2)x\geq20$的解集。设计意图：强化学生对一元二次不等式标准形式转化能力与求解能力。四、课堂小结1.学到了哪些知识？（1）一元二次不等式的定义与二次函数的零点定义；（2）“三个二次”的关系；（3）一元二次不等式解法步骤：化标、求根、画图、写解集。2.运用了哪些数学思想方法？函数与方程数形结合、类比法、特殊到一般。3.提