2022-2023学年山东省青岛市第二中学高三上学期1月期末数学试题

2022-2023学年山东省青岛市第二中学高三上学期1月期末数学试题1.已知集合＝，＝，则等于（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集一元二次不等式的解法答案：B解析：由中不等式变形可得：，解得，，由中得到，即，

，则，故选.2.若复数满足：，则的共轭复数的虚部为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数的有关概念共轭复数复数的乘法答案：C解析：因，则，

所以所求共轭复数为，其虚部为

故选.3.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．在这个问题中，第个孩子分到的棉花为（

）A.

斤B.

斤C.

斤D.

斤知识点：等差数列的通项公式数列中的数学文化问题等差数列的前项和的应用答案：A解析：依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为，前项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，

解得，．

故选.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：正态分布及概率密度函数正态曲线的性质答案：C解析：因为，并且，又因为，所以，所以，所以

，所以，故选.5.已知，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：角与的三角函数值之间的关系二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函数的平方关系角与的三角函数值之间的关系答案：D解析：因为，

所以，且

所以

所以，

所以​​

故选．6.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且点到两个焦点的距离之差为，则的面积为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：余弦定理及其应用椭圆的定义三角形的面积（公式）答案：C解析：因为椭圆的方程为：，则，

，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，

因为点到两个焦点的距离之差为，

所以假设，则，

解得：，又因为，

在中，由余弦定理可得：，

所以，

所以的面积为：

故选.7.已知函数​​​在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：三角恒等变换综合应用函数的图象及性质根据三角函数的性质求参数取值范围答案：C解析：因为

，

因为在区间上单调递增，由，则，

则，解得，，，即；

当时，，要使得该函数取得一次最大值，

故只需，解得；

综上所述，的取值范围为

故选.8.定义在上的函数满足，且当时，若对，都有，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：绝对值的概念与几何意义函数中的恒成立问题分段函数的图象答案：B解析：因为当时，，所以

又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，

由图可知，若对，都有，则故，，错误

故选.9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（

）A.

轨迹的方程为​B.

在轴上存在异于，的两点，使得​C.

当，，三点不共线时，射线是的平分线D.

在上存在点，使得知识点：两点间的距离直线和圆的数学文化问题与圆有关的轨迹问题答案：B；C解析：在平面直角坐标系中，，点满足，设（，），则，

化简得​，所以错误；

假设在轴上存在异于，的两点，使得，

设则，化简得​，

由轨迹的方程为​，可得​，

解得​或​（舍去），即在轴上存在异于，的两点，使，所以正确；

当，，三点不共线时，，可得射线是的平分线，所以正确；

若在上存在点，使得，可设（，），则有​，化简得​，与联立，方程组无解，故不存在点，所以错误．

故选.10.已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：余弦（型）函数的定义域和值域答案：B；C解析：，因为，所以，

又因为的值域是，所以，

可知的取值范围是

故选.11.对于伯努利数，有定义：则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：二项式定理的应用答案：A；C；D解析：由得，

​​，

所以，​​，

同理，，​​

所以，​​​，

，​​

其中第项为​​​

​​

即可得，​​​

令，得；

令，得​​；

令，得​​

同理，可得，​​，；​

即可得选项正确，错误；

由上述前项的值可知，当为奇数时，除了之外其余都是，

即，也即；所以正确

故选.12.已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（

）A.

是函数的一个零点

B.

函数的图象关于直线对称C.

方程在上有三个解

D.

函数在上单调递减知识点：函数的图象及性质正弦（型）函数的零点三角函数的图象变换答案：A；B；D解析：因为，，所以，解得，

又为正整数，所以，所以，

所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数​​​

​由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，

又，所以，，所以，

对于，，故正确；

对于，，故正确；

对于，令，因为，所以，

显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故错误；

对于，当时，，

因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故正确

故选总结：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变，纵变”在解题中的应用.13.一个布袋中，有大小、质地相同的个小球，其中个是红球，个是白球，若从中随机抽取个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是

​.知识点：古典概型的应用事件的互斥与对立组合的应用答案：解析：从中随机抽取个球，所有的抽法共有种，

事件所抽取的球中至少有一个红球的对立事件为所抽取的球中没有红球，

而事件：所抽取的球中没有红球的概率为，

故事件所抽取的球中至少有一个红球的概率等于，

故答案为14.已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，两点，过，分别作的切线，与交于点，与轴的交点分别为，，则四边形的面积为

​．知识点：利用导数求曲线的切线方程（斜率）直线与抛物线的综合应用三角形的面积（公式）答案：解析：抛物线的焦点为且直线的倾斜角为，则，

所以直线方程为，即，

设，，不妨设在第一象限，

联立，消去得解得，，

代入直线方程，则，，

因为直线与抛物线相切于点，

即，则，

所以，同理可得，

则可得直线方程为，即，

则其与轴交点，令，则，所以，

直线的方程为，即，

则其与轴交点，令，则，所以，所以，

联立的方程，解得，即点坐标为，

．

故答案为：．15.已知函数，则的最小值为

​.知识点：函数的最大(小)值二次函数的图象分析与判断答案：解析：​​​，

不妨令​，则，

所以当时，（）的取最小值．16.已知函数​有六个不同零点，且所有零点之和为，则的取值范围为

．知识点：分段函数与方程、不等式问题导数与单调性绝对值的概念与几何意义根据函数零点个数求参数范围函数零点存在定理答案：解析：，图象关于对称，

又的六个零点之和为，，解得：，

，

令，则与有个不同交点，

；

当时，，在上单调递增；

当时，，

，

又与在上单调递减，在上单调递增，

，使得，且当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

结合对称性可得其大致图象如下图所示：

由图象可知：若与有个不同交点，则，

即实数的取值范围为17.某电视台挑战主持人节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．(1)求至少回答对一个问题的概率．(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列．(3)求这位挑战者闯关成功的概率．知识点：离散型随机变量的分布列及其性质互斥事件的概率加法公式事件的互斥与对立相互独立事件的概率答案：(1)设至少回答对一个问题为事件，则.(2)这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.

根据题意，，

，

，

，

，

.

随机变量的分布列是(3)设这位挑战者闯关成功为事件，则.解析：(1)略(2)略(3)略18.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，，是边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设

(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当为多少时，包装盒的容积（）最大？最大容积是多少？知识点：建立函数模型解决实际问题利用导数解决实际应用问题棱柱、棱锥、棱台的体积函数求定义域答案：(1)设包装盒的高为，底面边长为，

则，，，

所以，；(2)由，

可得，

当时，；当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

当时，取得极大值也是最大值：．

所以当时，包装盒的容积最大是．解析：(1)略(2)略19.已知函数.(1)函数为的导函数，讨论当时，的单调性；(2)当时，证明：存在唯一的极大值点.知识点：导数与极值利用导数讨论函数单调性利用导数解决函数零点问题函数零点存在定理答案：(1)，设，则.

当时，令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以在上单调递减，在上单调递增.(2)证明：当时，，，

由（1）可知的最小值为，而，又，

由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，

所以当时，，当时，，故为的极大值点，

又在上单调递增，故在上不存在极大值点，

所以存在唯一的极大值点.解析：(1)略(2)略20.已知数列中，，，，(1)求的通项公式；(2)设，求．知识点：等比数列通项公式与指数函数的关系累加法求数列通项构造法求数列通项等比数列前n项和的应用等比数列的基本量数列与不等式的综合问题答案：(1)因为，，，

所以，，

所以，，

所以.

而也符合该式，故.(2)，

.解析：(1)略(2)略21.已知直线方程为，其中.(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，求面积的最小值及此时的直线方程.知识点：点到直线的距离直线系方程三角形的面积（公式）直线方程的综合应用利用基本不等式求最值答案：(1)因为直线方程为，其中，

即，

令，解得，

故直线经过定点，

当变化时，点到直线的距离的最大值为，

此时，和直线垂直，所以直线的斜率为，即，解得，

此时直线的方程为；(2)因为直线经过定点，

设直线方程为，，令则，令，则，

所以，，

所以，

因为，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最小值为，此时直线的方程为，即．解析：(1)略(2)略22.