第二章-正投影法基础课件

第二章正投影法基础1第二章正投影法基础1投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图2.1投影的基本知识一、投影法分类2投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法中心投影法投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变思考:1、在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?

2、当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?3、中心投影能否满足绘制工程图样的要求?3中心投影法投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小平行投影法斜角投影法投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法1、沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?2、物体的投影有否可能反映某一个面的实形?3、正投影能否满足绘制工程图样的要求?思考:工程图样多数采用正投影法绘制4平行投影法斜角投影法投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平二、正投影法的基本性质1、实形性：当物体平行于投影面，投影反映实形；2、积聚性：当物体垂直于投影面，投影积聚；3、类似性：当物体倾斜于投影面，投影成类似形；4、平行性：空间两平行线的投影保持平行；5、从属性：点属于线、面，线属于面，投影保持从属性；6、定比性：点分线段的比例，投影保持不变。5二、正投影法的基本性质1、实形性：当物体平行2.2三视图1、单一正投影不能完全确定物体的形状和大小62.2三视图1、单一正投影不能完全确定物体的形状和三个投影7三个投影788VWHx0yzy俯视主视左视2、三视图的形成YXZO规定:V面保持不动，H面向下向后绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ轴旋转900。9VWHx0yzy俯视主视左视2、三视图的形成YXZO规定:高长宽长高长宽高宽X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。主视图长、高俯视图长、宽左视图高、宽OXYZVWH（3）视图的度量性视图上物体的相对位置10高长宽长高长宽高宽X方向作为度量物体长度的方向；Y方向3、三面投影与三视图1）三视图主视图——正面投影（前向后看）俯视图——水平投影（上向下看）左视图——侧面投影（左向右看）2）三视图之间的度量对应关系三等关系主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长高宽宽长对正宽相等高平齐113、三面投影与三视图1）三视图主视图——正面投影（前向后看3）三视图之间的方位对应关系OXYZVWH上下左右后上下前后左右前上下左右前后123）三视图之间的方位对应关系OXYZVWH上下左右后上下前

主视图反映：上、下、左、右

俯视图反映：前、后、左、右

左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右13主视图反映：上、下、左、右上下左右后前上下前后左右1XYZY1Y2Y1Y2例1、由物体的立体图画三视图主线型前前14XYZY1Y2Y1Y2例1、由物体的立体图画三视图主线型前前虚线要画例2、画三视图123要注意宽相等15虚线例2、画三视图123要注意宽相等152.3点的投影Pb

●●AP采用多面投影。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a

●解决办法？162.3点的投影Pb●●AP采用多面投影。过空二、点在两投影面体系中的投影1、两投影面体系的建立2、点在两投影面体系中的投影HVOXaAZYXa

A点的水平投影——aA点的垂直投影——a

17二、点在两投影面体系中的投影1、两投影面体系的建立2、点在两3、点在两投影面体系中的投影规律1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。

点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离.

183、点在两投影面体系中的投影规律1）点的正面投影和水平投影的HWV三、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直19HWV三、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正◆水平投影面空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。WHVoXa

●a●a

●A●ZY20空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaa

yayaXYYO

●●az●x21WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到V面的距离a

ax=a

ay=z=A到H面的距离aay=a

az=x=A到W面的距离xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴22●●●●XYZOVHWAaaa点的投影规律:①aa点的三面投影和坐标的关系为：

水平投影a反映A点X和Y的坐标；正面投影a'反映A点X和Z的坐标；侧面投影a"反映A点Y和Z的坐标。yxzOAVHWa'aa"XZY画出A点投影图和举例23点的三面投影和坐标的关系为：yxzOAVHWa'aa"XZY●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用分规直接量取a

az=aaxa

●24●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●a特殊位置点：25特殊位置点：25d’dee’f’f’’e’’fd’’zxYW

YH0例：已知点的两投影，求其第三投影daa’a’’26d’dee’f’f’’e’’fd’’zxY点的投影规律一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。因此在求作点的'投影时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a'a上0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a'a"上0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。27点的投影规律27点的投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。28点的投影与直角坐标的关系28各种位置点的投影空间点点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。29各种位置点的投影29四、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZ30四、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间例题2已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

98531例题2已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。32两点的相对位置32重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？●●●●●a

a

c

c

()ac33重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时重影点及可见性判别若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。34重影点及可见性判别342.4直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aa

a

b

b

b●●●●●●直线投影的基本特性

一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。352.4直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影二、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面36二、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影1、投影面平行线水平线正平线侧平线371、投影面平行线水平线正平线侧平线37b

a

aba

b

b

aa

b

ba

①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

38baababbaabba①在其平行的那个投2、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线392、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线39铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)40铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相3、一般位置直线413、一般位置直线41投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abb

a

b

a

42投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO1）求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab43|zA-zB|ABABbbaaCXO1）求直线的实长ABbb

aa

CXO2）求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

44ABbbaaCXO2）求直线的实长及对正面投影面的夹角XZYO3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

45XZYO3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角角ABbb例题1已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

ab

a

b

|yA-yB|ABABab|zA-zB|b

Xa

bAB46例题1已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA一、直线与点的相对位置47一、直线与点的相对位置47◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理48◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上直线上的点具有两个特性：1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

ABbb

aa

XOcc

Cc49直线上的点具有两个特性：ABbbaaXOccCc49点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上50点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca例2：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?51例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a例题3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV52例题3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bb

Xa

aBC例题4已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cLABzA-zBc

ab53bbXaaBC例题4已知线段AB的投影，试定出属于线二、两直线的相对位置平行相交交叉垂直相交54二、两直线的相对位置平行相交交叉垂直相交54空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

55空间两直线的相对位置分为：⒈两直线平行投影特性：abcdc

a

b

d

例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①56abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？57bdcacbaddbac对于HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点58HVABCDKabcdkabckdabcdba●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影59●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与Ad

b

a

abcdc’1

(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4

●●两直线相交吗？60dbaabcdc’1(2)3(4)⒊两直线交叉例题判断两直线的相对位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

161例题判断两直线的相对位置baacddcbX11判断两直线重影点的可见性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。62判断两直线重影点的可见性XOBDACbbaaccdd例题判断两直线重影点的可见性b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)63例题判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa34、两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.证明：644、两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：若直角有一边d

abca

b

c

●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.65dabcabc●●d例：过C点作直线与AB垂直相交eee'e'c'c'例已知直线AB两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE两面投影。cbab'a'OX两直线交叉66eee'e'c'c'例已知直线AB两面投影和C点的水平投f例题过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f

Ocb

a

abXc

d

de

e67f例题过点E作线段AB、CD的公垂线EF。fOcb小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：68小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置一、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。69一、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴二、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。三、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。70二、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成四、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。直角定理71四、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面2.5平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形1、用几何元素表示平面722.5平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcab73732、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ74VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ74平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性75平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面----⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面76⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分1）投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面771）投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面77VWHPPH铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、a

b

c

、a

b

c

为

ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映

、

角的真实大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

78VWHPPH铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线ABCaVWHQQV正垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线2、abc、a

b

c

ABC的类似形3、a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B79VWHQQV正垂面投影特性：1、abc积聚为一VWHSWS侧垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线2、abc、a

b

c

为

ABC的类似形3、a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

80VWHSWS侧垂面投影特性：1、abc积聚为一条线abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？81abcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面投影特2）投影面平行面水平面正平面侧平面822）投影面平行面水平面正平面侧平面82VWH水平面投影特性：1、a

b

c

、a

b

c

积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性2、水平投影abc反映

ABC实形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

83VWH水平面投影特性：CABabcbacabcc正平面VWH投影特性：1、abc、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性2、正平面投影a

b

c

反映

ABC实形

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA84正平面VWH投影特性：cabbacbcaba投影特性：1、abc、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性2、侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形

侧平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

85投影特性：侧平面VWHabbbacccaba

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。86abcabcabc积聚性积聚性实形性水平面投影特3）一般位置平面873）一般位置平面87一般位置平面投影特性1、abc、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形2、不反映

、

、

的真实角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB88一般位置平面投影特性abcbacababba判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线三、平面上的直线和点89判断直线在平面内的方法定理一定9090abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。91abcbcaabcbcadmnnmd例1：例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？92例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10m⒉平面上取点93⒉平面上取点93先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解94先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线例题2已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d

da

b

c

abcee

95例题2已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二96bckadadbcadadbckbc例3：3、平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。973、平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置9898a

b

c

bac例题已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n

nm99abcbac例题已知ABC给定一平面，试过点例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。100例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A2.6直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行包括⒈直线与平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。1012.6直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和n

●●a

c

b

m

abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？102n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

103正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c●●例题3:试判断直线AB是否平行于定平面fg

f

gb

a

abc

e

d

edc结论：直线AB不平行于定平面104例题3:试判断直线AB是否平行于定平面fgfgba⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef105⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面例题1试判断两平面是否平行f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

结论：两平面平行106例题1试判断两平面是否平行fededfc例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k107例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。108二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交109109abcmnc

n

b

a

m

⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●110abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线M111111km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法112km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。113⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴114可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbe115115b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a

b

与e

f

的交点m

、b

c

与f

h

的交点n

即为两个共有点的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵116bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交117cdefababcdef⑶投影分析N

小结

重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应