经典例题题型一平面向量的数量积课件

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例11.两个向量的夹角(1)定义已知两个______向量a和b，作(2)范围向量夹角q的范围是______________，a与b同向时，夹角q=______；a与b反向时，夹角q=______(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是______，则a与b垂直，记作______.则∠AOB=q叫做向量a与b的夹角．0°≤q≤180°0°180°.90°a⊥b非零1.两个向量的夹角(1)定义(2)范围则∠AOB=q叫2基础梳理|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为.0|a|cosθ(2)a在b方向上的投影设θ为两个非零向量a,b的夹角，则叫做a在b方向上的投影.b在a方向上的投影（3）a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与|b|cosθ的乘积.基础梳理|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平3|a|cosθ0|a||b|3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=.(2)a⊥b

a·b=.(3)当a与b同向时,a·b=.当a与b反向时,a·b=.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|=.(4)|a·b||a||b|.(5)cos〈a,b〉=.-|a||b|≤b·aa·(λb)λ(a·b)4.向量数量积的运算律(1)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(数乘结合律);(3)(a+b)·c=(分配律).a·c+b·c

|a|cosθ0|a||b|3.向量的数量积的性质-4联系向量问题向量运算几何关系x1x2+y1y2

x1x2+y1y2=05.平面向量数量积的坐标表示a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=；(2)|a|=,|b|=;(3)a⊥b;(4)若a与b夹角为θ,则cosθ=(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为|AB|=.6.平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;(3)通过研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成.联系向量问题向量运算几何关系x1x2+y1y2x153.（2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为.基础达标1.（教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，AB·BC的值为.2.（教材改编题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值为.-21.解析：

2.解析：a＋b＝(3,5)，a－b＝(5,5)，cos〈a＋b，a－b〉＝3.（2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹基64.如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2),则AD·AC=.33.解析：a在x轴上的投影为|a|cos150°＝10×＝.4.解析：令则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，所以＝b·(a＋b)＝3.4.如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=75.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k=;若a⊥b，则k=.

1213-解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝.13-5.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a8经典例题题型一平面向量的数量积【例1】已知a,b是非零向量.（1）若a⊥b，判断函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)的奇偶性；（2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.解：（1）f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b,∵a⊥b,∴a·b=0，∴f(x)=(b2-a2)x.①当|a|≠|b|时，f(x)为奇函数；②当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒成立，所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量，故a⊥b.经典例题题型一平面向量的数量积【例1】已知a,b是非零9变式1-1已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b，求f(x)的最大值.解：f(x)=a·b=cosx-sinx=2（cosx-sinx）,f(x)=2sin（-x）,∴f(x)max=2.题型二模与垂直问题【例2】

(1)(2011×衡阳模拟)在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，在△ABC中，=i-2j，=2i+j，则△ABC的形状为(

)A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形(2)(2010×广东改编)已知向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)．①若|2a+b-c|=1，求实数x的值；②若(8a-b)⊥c，求实数x的值．变式1-1解：f(x)=a·b=cosx-sinx=2（10解(1)∵∴即AB⊥AC，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，故选C.(2)①∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3，x)=(1,7-x)．又∵|2a+b-c|=1，∴=1，∴(7-x)2=0，∴x=7.②8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)．由(8a-b)⊥c，得18+3x=0，∴x=-6.解(1)∵11变式2-1已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算|a+b|,|4a-2b|;(2)k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)?解：由已知,a·b=4×8×-（）=-16.(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=.∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,∴|4a-2b|=.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.变式2-1解：由已知,a·b=4×8×-（）=-16.12变式3-1(2011·北京模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且b⊥(a+b),求向量a,b的夹角〈a,b〉.题型三夹角问题【例3】（2011·台州模拟）在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点.若O是线段AM上任意一点，且|AB|=|AC|=，求向量OA·OB+OC·OA的最小值.解.=-2x(1-x)=2x2-2x=2-当且仅当x=时，变式3-1题型三夹角问题【例3】（2011·台州模拟13解：∵|a|=2|b|,b⊥(a+b),∴b·a+b2=0,∴a·b=-|b|2.又∵cos〈a,b〉=又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.易错警示【例】已知a,b均为单位向量，且a⊥b,若向量a+λb与λa+2b的夹角为钝角，求λ的取值范围.错解：∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴(a+λb)·(λa+2b)=λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.错解分析cos〈a,b〉＜0〈a,b〉∈,本题中〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去.解：∵|a|=2|b|,b⊥(a+b),∴b·a+b2=14正解：∵a+λb与λa+2b的夹角为钝角，∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,即λ＜0,且,∴λ≠±.综上，λ的取值范围为(-∞,-)∪(-,0).链接高考1.（2010·天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB,BC=BD,|AD|=1,则AC·AD=()2B.C.D.知识准备:1.平面向量的数量积公式;2.基底向量表示目标向量.正解：∵a+λb与λa+2b的夹角为钝角，链接高考1.（151.D解析：由图可得：AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+BD·AD=(BA+AD)·AD=|AD|2=.2.（2010·安徽）设向量a=(1,0)，b=（,）,则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=C.a-b与b垂直D.a