第五章刚体的运动课件

5-1刚体的基本运动一、刚体在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因而可以瞬时传递力。即：质元间保持不变的质点系，称“不变质点系”

。刚体是个理想化的模型。CAB

Ftt

+

t才感受到力5-1刚体的基本运动一、刚体在任何情况下物体的形状和大小都1二、刚体的运动形式*刚体上所有质元都沿平行路径运动,各个时刻的相对位置都彼此固定。1.平动*可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。*平动是刚体的基本运动形式之一。ABCABCABC二、刚体的运动形式*刚体上所有质元都沿平行路径运动,各个时22.转动*转动也是刚体的基本运动形式之一，可分为定轴转动和定点转动。①定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。②定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。2.转动*转动也是刚体的基本运动形式之一，可分为定轴转动和定33.一般运动可分解为两种刚体的基本运动：随基点O（可任选）的平动；绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。3.一般运动可分解为两种刚体的基本运动：随基点O（可任选）的41.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；三、定轴转动的刚体特点2.各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆心即为转心。3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；三、定轴转动的刚5四、角速度矢量方向：沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。2.线速度与角速度的关系：1.角速度矢量的规定：大小转向v

ωrrP×

基点O瞬时轴刚体四、角速度矢量方向：沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。2.线速度65-2力矩转动定律一、力矩FM

r·Om

r0

r·O

1.力对定点O的力矩2.力偶矩其中：称力臂或：5-2力矩转动定律一、力矩FMr·Omr0r·O7二、转动定律对质元i对刚体（质点系）：令：--刚体定轴转动的微分方程二、转动定律对质元i对刚体（质点系）：令：--刚体定轴转动的8三、转动惯量1.刚体对Z轴的转动惯量若质量离散分布:若质量连续分布:

*转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即:与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。反映刚体转动惯性的量度。

y

rix

z

yi

xi

mi

三、转动惯量1.刚体对Z轴的转动惯量若质量离散分布:若质量连9②平行轴定理：

y

rix

z

mi

dC例1：质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：

dm②平行轴定理：yrixzmidC例1：质量为m、半10例题求:长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标例题求:长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的11

例题：质量为m，半径为R，厚度为h，均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取高度为h，半径为r，宽为dr的薄圆环；圆盘的质量体密度为Rrdr例题：质量为m，半径为R，厚度为h，均匀圆盘的转动惯量。轴12求:内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量r求:内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，质量为m的匀质13求：质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量解:在球面取一圆环带，半径求：质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量解:14求：质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合

求：质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量解:把15*刚体定轴转动的转动定律的应用：基本方法和步骤：3.根据初始条件解方程，求未知量。1.分析物体受力，确定外力矩；2.利用转动定律写出运动微分方程；*刚体定轴转动的转动定律的应用：基本方法和步骤：3.根据初16例1.如图,细杆长l,质量m,静止在竖直位置，求转到

角时的角加速度和角速度.MG=(mglsinθ)/2由转动定律θpNO

=Iβ=(ml2/3)β

β=3gsinθ/(2l)β=dω/dt=(dω/dθ)(dθ/dt)=ωdω/dθωdω=βdθωdω=[3gsinθ/(2l)]dθω=[3g(1–cosθ)/l]1/2=[3gsinθ/(2l)]dθ解:细杆受力如图,N

对转轴O的力矩为零.例1.如图,细杆长l,质量m,静止在竖直位置，求转到17例题一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体

，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳的张力。m2m1M例题一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定滑轮，18m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图对m2对定滑轮对m1且有m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分别对物体和滑19联立方程，可得联立方程，可得20刚体定轴转动的转动定律滑轮刚体相关问题的求解步骤：4.求解联立方程。1.分析物体受力，确定外力矩；2.列出转动定律和牛顿定律方程；3.列出线量和角量之间的关系式；刚体定轴转动的转动定律滑轮刚体相关问题的求解步骤：4.求解联21例题

图示物体质量分别为mA和mB

，圆柱形滑轮质量为mc，半径为R，不计桌面和轮轴摩擦力。求：⑴两物体的加速度和绳的张力；⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？例题图示物体质量分别为mA和mB，圆柱形滑轮22解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图物体A物体

B对定滑轮C又解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图物体A物体 B对定滑轮23联立方程，可得联立方程，可得24习题：如图,组合轮由半径各为R1,R2,质量各为M1,M2,的二均匀圆盘同轴固结而成,可绕水平固定轴自由转动.今在两盘上各绕细绳,绳两端各挂质量m1,m2二物体.m1m2求重力使m2下落时轮的角加速度.习题：如图,组合轮由半径各为R1,R2,质量各为M1,M2,25

m1,

m2及定滑轮切向受力如图,以运动方向为坐标正向.

m2g–T2=m2a2T1–m1g=m1a1T2R2–T1R1=Jββ=a1/R1=a2/R2J=M1R12/2+M2R22/2解:解得β=2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R222(m2R2–m1R1)gm1m2T1m1gT2m2gT2T1m1,m2及定滑轮切向受力如图,263-5刚体定轴转动的动能定理一、刚体定轴转动的动能把刚体看作无限多质元构成的质点系。3-5刚体定轴转动的动能定理一、刚体定轴转动的动能把刚体看27二、力矩的功

设刚体定轴转动中，刚体质元i在切向力的作用下，绕轴转过即对整个刚体：二、力矩的功设刚体定轴转动中，刚体质元i在切向力的作28三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：*合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能的增量。三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：*合外力矩29例题

图示物体质量分别为mA和mB

，圆柱形滑轮质量为mc，半径为R，不计桌面和轮轴摩擦力。求：⑴两物体的加速度和绳的张力；⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？联立解运动微分方程，可得a例题图示物体质量分别为mA和mB，圆柱形滑轮30解:根据机械能守恒，可得可直接求出解:根据机械能守恒，可得可直接求出311.质点m对惯性系中的固定点O的角动量为：一、角动量（动量矩）5-4角动量角动量守恒定律

LmO

pr

·大小：方向：决定的平面（右螺旋）1.质点m对惯性系中的固定点O的角动量为：一、角动量（动量32LRv

m·O

*质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆平面不变。

*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同，其角动量也会不同。方向变化方向竖直向上，不变OlO

锥摆mLRvm·O*质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大332.刚体对固定转动的角动量：对质元i对刚体（质点系）

·pro转动平面2.刚体对固定转动的角动量：对质元i对刚体（质点系）·p34二、质点角动量定理和角动量守恒定律上式两边对时间求导：1.质点角动量定理:二、质点角动量定理和角动量守恒定律上式两边对时间求导：1.质35①微分形式：或：其中：称冲量矩—力矩对时间的积累作用②积分形式：①微分形式：或：其中：称冲量矩—力36例题

锥摆的角动量①对O点：合力矩不为零，角动量变化。②对O

点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。OlO

锥摆m例题锥摆的角动量①对O点：合力矩不为零，角动量变化。②对O37例题如图所示，小球m沿半径为R的圆环轨道由A静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点B（与A夹角为）时对环心的角动量和角速度。OABR例题如图所示，小球m沿半径为R的圆环轨道由A静止下38mgTv解：小球受力如图，对环心OOABR由质点的角动量定理其中和的方向相同。两边乘mgTv解：小球受力如图，对环心OOABR由质点的角动量定理39第五章刚体的运动课件402.质点的角动量守恒定律

角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。2.质点的角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本41例：（行星运动的开普勒第二定律）在太阳系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过的面积相等，即掠面速度不变。rLv

S

m解：天体受万有引力作用，对力心角动量守恒。常量例：（行星运动的开普勒第二定律）在太阳系中任一行星对太阳的位42三、刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角动量定理对质点i整个刚体刚体viω,

定轴

zmiΔriFi三、刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角43由于：--刚体的角动量定理①微分形式：②积分形式：由于：--刚体的角动量定理①微分形式：②积分形式：44即：2.刚体的角动量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。即：2.刚体的角动量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、转动惯45例题一长为l的轻质杆端部固结一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度ω。lm1O

v0m2

例题一长为l的轻质杆端部固结一小球m1,另一小球46碰撞时重力和轴的作用力都通过O，对O力矩为零，故角动量守恒。则解：选m1（含杆）+m2为系统解得：lm1O

v0m2

碰撞时重力和轴的作用力都通过O，对O力矩为零，故角动量守恒。47

A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：。已知A圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg。试求两圆盘对心衔接后的角速度例题A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：48解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒49MmRr例题.半径R,质量M的均匀水平转台可绕中心轴自由转动,开始时静止.今有质量m的玩具汽车静止开始在转台上作半径r(r<R)的圆运动,求汽车相对转台走一周时,转台转过的角度.小车与转盘受重力与轴的支撑力都平行转轴,力矩在轴方向上无分量,故小车与转盘系统对转轴角动量守恒.用角标0,1,2分别表示地,转盘和小车,设u=v21,有解:ω20=ω21+ω10mv20r+Jω10=0mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0MmRr例题.半径R,质量M的均匀水平转台可绕中心轴自由50MmRr例题.半径R,质量M的均匀水平转台可绕中心轴自由转动,开始时静止.今有质量m的玩具汽车静止开始在转台上作半径r(r<R)的圆运动,求汽车相对转台走一周时,转台转过的角度.解:mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0

mr2ω21+(mr2+MR2/2)ω10=0

mru+(mr2+MR2/2)ω10=0ω10=–mru/(mr2+MR2/2)θ=[–mru/(mr2+MR2/2)]dtMmRr例题.半径R,质量M的均匀水平转台可绕中心轴自由51MmRr例题.半径R,质量M的均匀水平转台可绕中心轴自由转动,开始时静止.今有质量m的玩具汽车静止开始在转台上作半径r(r<R)的圆运动,求汽