第二十八章 圆单元练习含解析

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第二十八章圆单元练习2023-2024学年冀教版（2023）九年级数学上册（含解析）

一、单选题

1．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（）

A．B．C．D．

2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（）

A．110°B．90°C．85°D．80°

3．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为（）

A．12B．8C．10D．

4．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（）

A．5米B．6米C．7米D．8米

5．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，是直径上的任意一点．若，则图中阴影部分的面积为（）

B．C．D．

6．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（）

A．13B．14C．12D．28

二、填空题

7．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是．

8．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）⊙为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点，重合），连结，，．则四边形的面积关于线段的长的函数解析式是．

9．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是的直径，弦．若动点以的速度从点出发沿着的方向运动，点从点出发以沿着的方向运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为，当是直角三角形时，．

10．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为．

11．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，，长为半径画和，连接，则图中阴影部分面积是．

三、解答题

12．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若绕点O逆时针旋转后，得到（A和是对应点）

(1)画出；

(2)点坐标为______，点坐标为______；

(3)点A的运动路径长为______．

13．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆；

②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）

（2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是，．

14．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．

(1)请用尺规作图在图上作出该图；

(2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少

15．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接，.

(1)求证：：

(2)若，，求的长．

16．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；

(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？

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试卷第1页，共3页

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参考答案：

1．C

【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形．

【详解】解：设小正方形边长为1，

则：，

，

根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：

点O是三个三角形的外心；

不是的外心，

故选：C．

【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键．

2．C

【分析】由三角形的外心可知，结合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性质即可求解的度数．

【详解】解：是的外心，

是正三角形

故选C．

【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．

3．B

【分析】连接，由可得是的直径，从而得到，由是的角平分线可得，则，进而得到是等腰直角三角形，最后由勾股定理进行计算即可得到答案．

【详解】解：如图，连接，

，

，

是的直径，

，

是的角平分线，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质，是解题的关键．

4．D

【分析】以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．

【详解】解：如图，以O为圆心，连接，

由题意可得，D为弧的中点，

∴，

∵，

∴，

设，则，

在中，，，

∴，

解得：，

∴主桥拱所在圆的半径；

由题意得，水面下降为，连接，

∵水面下降1米，

∴，

则，

∴，即水面的宽度为．

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．

5．D

【分析】连接，，由题意可得，则，由，可得阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式求解即可．

【详解】解：连接，，

∵M，N是以为直径的半圆周的三等分点，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴阴影部分的面积等于扇形的面积，即为．

故选：D．

【点睛】本题考查扇形的面积公式，等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解答本题的关键．

6．D

【分析】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．

【详解】解：连接，

∵，

∴，

∵点、点关于原点对称，

∴，

∴，

若要使取得最大值，则需取得最大值，

连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，

过点作轴于点，

则、，

∴，

又∵，

∴，

∴；

故选：D．

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．

7．

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可求得半径．

【详解】解：如图所示，作弦和的垂直平分线交于点O，连接，设的中点为D，

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

∴点O即为圆心，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置．

8．

【分析】根据旋转的性质得到，，推出点，点，点三点共线，得到是等边三角形，即可得到结论．

【详解】如图，将绕点逆时针旋转，得到，

∴，，

∵四边形是圆内接四边形，

∴，

∴，

∴点，点，点三点共线，

∴是等边三角形，

∵四边形的面积

，

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的有关知识，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

9．或

【分析】应分两种情况进行讨论∶①当时，为直角三角形，根据，可将时间求出；当时，为直角三角形，根据，可将时间求出．

【详解】解∶如图，是直径，

．

又，

∴根据勾股定理得到．

则．

∵当点到达点时，点也随之停止运动，

．

①如图1，

当时，，则．

故，即，解得．

②如图2，

当时，，则，即，

解得．

综上所述，当或时，为直角三角形．

故答案是∶或．

【点睛】本题考查圆周角定理相似三角形的性质直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间时应分情况进行讨论，防止漏解．

10．23

【分析】（1）如图，由及易证，所以点P在以为直径的圆上，连接，交于，此时长最小，根据勾股定理求解,进而求得为2；

（2）如图，作交于，由可证，由知，从而解得．

【详解】

解：∵四边形矩形，

，

∴

∵，

，

，

以为直径作，经过点，连接，交于，此时长最小．

∵，

，

∴，

故答案为2．

作交于，

，

，

，

∵

∴，

∴

∴，

∴，

．

故答案．

【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性质；明确动点P的轨迹，确定取最小值时点的位置是解题的关键；求长的关键是利用矩形的性质及（1）空的结论构造相似三角形求解．

11．

【分析】作于点，根据勾股定理求出，根据面积和差计算即可．

【详解】如图，过作于，

∵，，，

∴由勾股定理得：，

由旋转的性质可知，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】此题考查了扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．

12．(1)见解析

(2)，

(3)

【分析】（1）分别作出点A、B绕点O逆时针旋转后得到的对应点、，顺次连接点O、、即可得到；

（2）根据（1）中的图形写出点、的坐标即可；

（3）根据点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，勾股定理求出，利用弧长公式求出点A的运动路径长即可．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）由图可知，点的坐标为，的坐标为，

故答案为：，

（3）点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，

,

∴点A的运动路径长为．

故答案为：

【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是解题的关键．

13．（1）①见解析；②见解析（2），

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可．

【详解】解：（1）①作直径，过O作AB的垂线交圆与D，连接，以O为圆心，为半径画圆，如图

②如图，以为半径作圆（或以为斜边作等腰直角三角形）．

（2）的半径为5，

原来圆的面积为，

倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为，

，得，

所作倍圆的圆周长为，

均分问题中，所作圆面积为原来圆的倍，设所作圆半径为，

，得，

所作均分圆的圆周长为．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14．(1)见详解

(2)

【分析】（1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，长为半径画圆即可；

（2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积；

【详解】（1）即为所作

（2）∵，，

∴

∴所需要正方形板的最小面积是

【点睛】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出是解题关键．

15．(1)见解析

(2)

【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知，，，可得即可证明结论；

（2）连接、、，交于点，由题意易知，进而可知，结合，可知垂直平分．易证是等腰直角三角形，，可得，可得．设，则，在和中，根据，可列方程解出的值，进而完成解答．

【详解】（1）证明：由圆周角定理可得：，

∵平分，平分，

∴，．

∵，，

∴．

∴．

（2）解：连接、，交于点，

由圆周角定理可得：，由（1）知，

∴．

∴．

∵．

∴垂直平分．

∵为直径，

∴，则是等腰直角三角形．

∵，

∴．

∵，，解得：

∴．

设，则，

在和中，，

即：，解得，即，

∴．

∴．

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定