【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 16.2 最简二次根式和同类二次根式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学八年级上册16.2最简二次根式和同类二次根式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】同类二次根式

【解析】【解答】解：，

∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，

∴且，

即，

∴①当，即a=30时，，

②当，即a=24时，，

③当，即a=14时，，

则符合条件的正整数a有3个.

故答案为：C.

【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.

2．（2023八上·巴中期末）下列说法正确的是（）

A．1的平方根是1

B．（﹣4）2的算术平方根是4

C．＝±3

D．是最简二次根式

【答案】B

【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式

【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是

，此项说法错误；

B、

的算术平方根是4，此项说法正确；

C、

，此项错误；

D、

，所以

不是最简二次根式，此项说法错误.

故答案为：B.

【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.

3．（2023八上·平谷期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）

A．a＝1B．a＝－1C．a＝2D．a＝－2

【答案】A

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式

∴a+1=2a

解得：a=1

故答案为：A

【分析】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。

4．（2023八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】解：，，，

∴能与合并的是；

故答案为：B．

【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。

5．（2023八上·郑州期末）下列计算正确的是（）

A．＝±4B．C．D．

【答案】D

【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；同类二次根式

【解析】【解答】解：

，故A选项错误，不符合题意；

，故B选项错误，不符合题意；

和

不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；

，故D选项正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】A选项的左边是求16的算术平方根，右边是16的平方根，而一个正数的正的平方根才是它的算术平方根，据此可判断A；首先将带分数化为假分数，然后开方计算可判断B；几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，二次根式部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C；一个数的立方的立方根等于它本身，据此可判断D.

6．（2023八上·杨浦期中）与根式不是同类二次根式的是（）

A．B．C．D．﹣2

【答案】C

【知识点】同类二次根式

【解析】【解答】解：A、，与是同类二次根式；

B、，与是同类二次根式；

C、，与不是同类二次根式；

D、，与是同类二次根式；

故答案为：C．

【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与的被开方数相同即得结论.

7．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（）

A．x≤10B．x≥10

C．x＜10D．x＞10

【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式

【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．

【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．

8．下列二次根式中，最简二次根式是().

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】解答：最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式；D选项中的被开方数含开得尽方的因式.故答案应选择C

分析：充分掌握最简二次根式的内涵与外延，用于具体题目的具体分析

二、填空题

9．（2023八上·上海月考）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是．

【答案】，，

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：，不是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

∴是最简二次根式的有：，，，

故答案为：，，．

【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。根据最简二次根式的定义一一判断即可。

10．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有．

①；②；③；④．

【答案】②④

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。

故第1空答案为：②④

【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。

11．（2023八下·汝南月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为.

【答案】3

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】，

最简二次根式与是同类二次根式，

，

，

故答案为：3.

【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求出a的值.

12．（2023八上·浦东期中）化简.

【答案】.

【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式

【解析】【解答】根据二次根式的定义知，，

∴，

∴=.

故答案为：.

【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.

三、计算题

13．（2023八上·港南期末）

（1）计算：．

（2）先化简，再求值：，其中．

【答案】（1）解：原式，

；

（2）解：原式

，

当时，原式；

【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式

【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂和0指数幂的意义计算，然后去绝对值、去括号，再合并同类二次根式和进行有理数的加减法运算即可得出结果；

（2）先由分式的混合运算将分式进行约分化简，最后代值计算即可.

四、解答题

14．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．

【答案】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴a2﹣a=4a﹣6，

解得：a=2或a=3，

当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，

解得：x=，

当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，

解得；x=1，x=﹣3，

∴关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解：x=1、x=﹣3或x=

【知识点】同类二次根式

【解析】【分析】根据同类二次根式的定义知2a2﹣a=4a﹣2，据此可以求得a的值；然后将其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0并解方程即可．

五、综合题

15．（2023八下·江阴月考）如果最简二次根式与是同类二次根式.

（1）求出a的值；

（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+.

【答案】（1）解：4a-5=13-2a,

解得a=3.

（2）解：≤x≤

===

【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式

【解析】【分析】（1）同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式，由此可列等式，求解即可；

（2）由二次根式的性质可对式子化简，再利用去绝对值符号法则：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数可求解.

16．（2023八下·随县期中）若最简二次根式和是同类二次根式.

（1）求x、y的值；

（2）求的值.

【答案】（1）解：由题意得：3x-10=2，2x+y-5=x-3y+11，

解得x=4，y=3.

（2）解：当x=4，y=3时==5

【知识点】同类二次根式

【解析】【分析】(1)、根据同类二次根式得出x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值；(2)、将x和y的值代入代数式得出答案.

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2023-2024学年初中数学八年级上册16.2最简二次根式和同类二次根式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2023八上·巴中期末）下列说法正确的是（）

A．1的平方根是1

B．（﹣4）2的算术平方根是4

C．＝±3

D．是最简二次根式

3．（2023八上·平谷期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）

A．a＝1B．a＝－1C．a＝2D．a＝－2

4．（2023八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八上·郑州期末）下列计算正确的是（）

A．＝±4B．C．D．

6．（2023八上·杨浦期中）与根式不是同类二次根式的是（）

A．B．C．D．﹣2

7．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（）

A．x≤10B．x≥10

C．x＜10D．x＞10

8．下列二次根式中，最简二次根式是().

A．B．C．D．

二、填空题

9．（2023八上·上海月考）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是．

10．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有．

①；②；③；④．

11．（2023八下·汝南月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为.

12．（2023八上·浦东期中）化简.

三、计算题

13．（2023八上·港南期末）

（1）计算：．

（2）先化简，再求值：，其中．

四、解答题

14．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．

五、综合题

15．（2023八下·江阴月考）如果最简二次根式与是同类二次根式.

（1）求出a的值；

（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+.

16．（2023八下·随县期中）若最简二次根式和是同类二次根式.

（1）求x、y的值；

（2）求的值.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】同类二次根式

【解析】【解答】解：，

∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，

∴且，

即，

∴①当，即a=30时，，

②当，即a=24时，，

③当，即a=14时，，

则符合条件的正整数a有3个.

故答案为：C.

【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.

2．【答案】B

【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式

【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是

，此项说法错误；

B、

的算术平方根是4，此项说法正确；

C、

，此项错误；

D、

，所以

不是最简二次根式，此项说法错误.

故答案为：B.

【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.

3．【答案】A

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式

∴a+1=2a

解得：a=1

故答案为：A

【分析】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。

4．【答案】B

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】解：，，，

∴能与合并的是；

故答案为：B．

【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。

5．【答案】D

【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；同类二次根式

【解析】【解答】解：

，故A选项错误，不符合题意；

，故B选项错误，不符合题意；

和

不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；

，故D选项正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】A选项的左边是求16的算术平方根，右边是16的平方根，而一个正数的正的平方根才是它的算术平方根，据此可判断A；首先将带分数化为假分数，然后开方计算可判断B；几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，二次根式部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C；一个数的立方的立方根等于它本身，据此可判断D.

6．【答案】C

【知识点】同类二次根式

【解析】【解答】解：A、，与是同类二次根式；

B、，与是同类二次根式；

C、，与不是同类二次根式；

D、，与是同类二次根式；

故答案为：C．

【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与的被开方数相同即得结论.

7．【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式

【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．

【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．

8．【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】解答：最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式；D选项中的被开方数含开得尽方的因式.故答案应选择C

分析：充分掌握最简二次根式的内涵与外延，用于具体题目的具体分析

9．【答案】，，

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：，不是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

∴是最简二次根式的有：，，，

故答案为：，，．

【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。根据最简二次根式的定义一一判断即可。

10．【答案】②④

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。

故第1空答案为：②④

【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。

11．【答案】3

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】，

最简二次根式与是同类二次根式，

，

，

故答案为：3.

【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求出a的值.

12．【答案】.

【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式

【解析】【解答】根据二次根式的定义知，，

∴，

∴=.

故答案为：.

【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.

13．【答案】（1）解：原式，

；

（