2024年概率论与数理统计考研题库【考研真题精选＋章节题库】

第一部分考研真题精选

一、选择题

 

1设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为（）。[数一2020研]

A．3/4

B．2/3

C．1/2

D．5/12

【答案】D查看答案

【解析】只发生A事件的概率：

只发生B事件的概率：

只发生C事件的概率：

A，B，C中恰有一个事件发生的概率：

故选择D项。

 

2设A，B为随机事件，则P（A）＝P（B）的充分必要条件是（）。[数一2019研]

A．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

B．P（AB）＝P（A）P（B）

C．P（AB(＿)）＝P（BA(＿)）

D．

【答案】C查看答案

【解析】选项A只能说明事件A与事件B不相容，选项B只能说明事件A与事件B相互独立，并不能说明P（A）＝P（B）。对选项D来说，若令B＝A(＿)，等式恒成立，亦不能说明P（A）＝P（B），故选C。

 

3设事件A，B相互独立，P（B）＝0.5，P（A－B）＝0.3，则P（B－A）＝（）。[数一、数三2014研]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】B查看答案

【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P（AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。

 

4设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X－Y|＜1}（）。[数一2019研]

A．与μ无关，而与σ2有关

B．与μ有关，而与σ2无关

C．与μ，σ2都有关

D．与μ，σ2都无关

【答案】A查看答案

【解析】因为X，Y相互独立且都服从N（μ，σ2），记Z＝X－Y，则Z服从N（0，2σ2）分布。P{|Z|＜1}只与σ2有关，因此P{|X－Y|＜1}与μ无关，而与σ2有关。故选A。

 

5设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且

则P{X＜0}＝（）。[数一2018研]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】A查看答案

【解析】由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的图像关于x＝1对称，利用特殊值法：将f（x）看成随机变量X～N（1，σ2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P{X＜0}＝0.2。

 

6设随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），记p＝P{X≤μ＋σ2}，则（）。[数一2016研]

A．p随着μ的增加而增加

B．p随着σ的增加而增加

C．p随着μ的增加而减少

D．p随着σ的增加而减少

【答案】B查看答案

【解析】因为p＝P{X≤μ＋σ2}＝P{（X－μ）/σ≤σ}＝Φ（σ），所以p的大小与μ无关，随着σ的增大而增大。

 

7设连续型随机变量X1，X2相互独立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分别为f1（x），f2（x），随机变量Y1的概率密度为，随机变量Y2＝（X1＋X2）/2，则（）。[数一2014研]

A．EY1＞EY2，DY1＞DY2

B．EY1＝EY2，DY1＝DY2

C．EY1＝EY2，DY1＜DY2

D．EY1＝EY2，DY1＞DY2

【答案】D查看答案

【解析】

DY1＝E（Y12）－E2（Y1）＝EX12/2＋EX22/2－E2（X1）/4－E2（X2）/4－E（X1）E（X2）/2＝D（X1）/4＋D（X2）/4＋E（X1－X2）2/4≥D（X1）/4＋D（X2）/4＝DY2

 

8设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32），Pj＝P{－2≤Xj≤2}（j＝1，2，3）则（）。[数一、数三2013研]

A．P1＞P2＞P3

B．P2＞P1＞P3

C．P3＞P1＞P2

D．P1＞P3＞P2

【答案】A查看答案

【解析】若X～N（μ，σ2），则（X－μ）/σ～N（0，1），故

P1＝2Φ（2）－1，P2＝P{－2≤X2≤2}＝P{－1≤X2/2≤1}＝2Φ（1）－1，则P1＞P2；

P3＝P{－2≤X3≤2}＝P{（－2－5）/3≤（X3－5）/3≤（2－5）/3}＝Φ（－1）－Φ（－7/3）＝Φ（7/3）－Φ（1）

P3－P2＝1＋Φ（7/3）－3Φ（1）＜2－3Φ（1）＜0，故P2＞P3。

 

9设F1（x），F2（x）为两个分布函数，其相应的概率密度f1（x），f2（x）是连续函数，则必为概率密度的是（）。[数一、数三2011研]

A．f1（x）f2（x）

B．2f2（x）F1（x）

C．f1（x）F2（x）

D．f1（x）F2（x）＋f2（x）F1（x）

【答案】D查看答案

【解析】四个选项均满足大于等于零的条件，由D选项而易知，D项满足连续分布概率密度的条件，为概率密度（其他选项均无法验证满足（－∞，＋∞）上积分为1的条件）。

 

10设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是（）[数三2020研]

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】由二维正态的性质知X＋Y～N（μ，σ2），因

μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0

故。

又服从二维正态分布，而

故与X不相关，由二维正态的性质知，与X独立。

故应选C项。

 

 

11随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为1/3。将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（）。[数一2016研]

A．－1/2

B．－1/3

C．1/3

D．1/2

【答案】A查看答案

【解析】由题可求出X，Y的联合分布概率如表1所示。

表1

所以，EX＝0×4/9＋1×4/9＋2×1/9＝2/3。同理EY＝2/3，EX2＝8/9，EY2＝8/9，EXY＝2/9。Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝－2/9。DX＝EX2－（EX）2＝4/9，DY＝EY2－（EY）2＝4/9。所以

 

12设随机变量X与Y相互独立，且X～N（1，2），Y～N（1，4），则D（XY）＝（）。[数三2016研]

A．6

B．8

C．14

D．15

【答案】C查看答案

【解析】根据题意，X、Y相互独立，则D（XY）＝E（XY）2－（EXY）2＝EX2EY2－（EXEY）2＝[DX＋（EX）2][DY＋（EY）2]－（EXEY）2＝14。

 

13将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）。[数一2012研]

A．1

B．1/2

C．－1/2

D．－1

【答案】D查看答案

【解析】假设木棒两段长度分别为x，y，有x＋y＝1即y＝1－x，故x，y是线性关系，且相关系数为－1。

 

14设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则P{X2＋Y2≤1}＝（）。[数三2012研]

A．1/4

B．1/2

C．π/8

D．π/4

【答案】D查看答案

【解析】由题意知X～U（0，1），Y～U（0，1）且相互独立，则

由图1，得

图1

 

15设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在。记U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}，则E（UV）等于（）。[数一2011研]

A．EU·EV

B．EX·EY

C．EU·EY

D．EX·EV

【答案】B查看答案

【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y}，而无论X与Y的关系如何，UV＝XY。从而E（UV）＝E（XY）＝EX·EY。

 

16设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，Φ（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为（）。[数一2020研]

A．1－Φ（1）

B．Φ（1）

C．1－Φ（2）

D．Φ（2）

【答案】B查看答案

【解析】E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，，，将标准化可得，由中心极限定理可知近似服从标准正态分布。

故选B项。

 

17设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，令

则（）。[数三2018研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案

【解析】因为

所以

根据抽样定理得：

又X(＿)与S2相互独立，所以

 

18设X1，X2，X3为来自正态总体N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量服从的分布是（）。[数三2014研]

A．F（1，1）

B．F（2，1）

C．t（1）

D．t（2）

【答案】C查看答案

【解析】由题意知，，X1－X2～N（0，2σ2），，X3～N（0，σ2），所以X3/σ～N（0，1），X32/σ2～χ2（1），且与X3/σ相互独立，故

 

19给定总体X～N（μ，σ2），σ2已知，给定随机样本X1，X2，…，Xn，对总体均值μ进行检验，令H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0，则（）。[数一2018研]

A．若显著性水平α＝0.05时拒绝H0，则α＝0.01时必拒绝H0

B．若显著性水平α＝0.05时拒绝H0，则α＝0.01时必接受H0

C．若显著性水平α＝0.05时接受H0，则α＝0.01时必拒绝H0

D．若显著性水平α＝0.05时接受H0，则α＝0.01时必接受H0

【答案】D查看答案

【解析】令

X(＿)～N（μ，σ2/n），故当假