孟道骥《高等代数与解析几何》（第3版）课后习题详解 免费试读
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文档简介

第1章多项式

第1节数域

 

1举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子。

解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭。

 

2举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子。

解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭。

 

3举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子。

解：集合S＝{2n|n∈N}，{1}，{2m＋1|m∈Z}与集合{m|p?m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭。

 

4试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭。

证明：可设P≠?，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P。又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－（－a）∈P。故P若对减法封闭，则必对加法封闭。

 

5试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭。

证明：设P≠?，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P。又因为1÷a＝a－1∈P，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a－1∈P。因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭。

 

6令

试证明是一个数域。

证明：由题目易知，若

则有

即对加法和减法都封闭。又因为

则对乘法封闭。

下面需证明对除法是封闭的。由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：

若

则成立。

下面分为三种情形讨论：

（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，。

（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是

且a3＋5≠0。因此。

（3）c≠0，此

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