2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题10.4直线与圆的位置关系含解析

Page110.4直线与圆的位置关系课标要求考情分析核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.新高考3年考题题号考点直观想象数学运算逻辑推理2022(Ⅱ)卷15利用直线与圆的位置关系求参2021(Ⅰ)卷11直线与圆的位置关系的综合问题2021(Ⅱ)卷11直线与圆的位置关系的判断1.直线与圆的位置关系设圆C:x-a2+y-b2=r2,直线l:Ax+By+C=0由x-a2+y-b2=r2Ax+By+C=0消去y(或位置关系相离相切相交图形公共点个数012量化方程观点∆∆=0∆几何观点d>rd=rd<r1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=(2)过圆x-a2+y-b2=(3)过圆x2+y2=1.【P93T1.多选】已知直线l：x+y-2=0与圆C：(x-1)2+(y+1)2A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交

C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个2.【P95T1】如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为(

)A.230米 B.202米 C.430米 D.考点一直线与圆的位置关系的判断或求参【方法储备】1.判断直线与圆的位置关系的常用方法:【典例精讲】角度1判断直线与圆的位置关系例1.(2021·全国新高考2卷.多选)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+yA.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【名师点睛】解决直线与圆的位置关系的问题，要充分运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯.【靶向训练】练1-1(2022·重庆市联考)已知圆M:x2+y2+4x+2y-4=0，直线A.圆心M坐标为(2,1)B.圆M的半径为3

C.直线l与圆M相交D.圆M上的点到直线l的距离最大值为3+练1-2(2022·湖北省十一校联考)直线kx+y-2-3k=0与圆x2+y2A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切角度2根据直线与圆的位置关系求参例2.(2021·浙江省专项测试)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0

的距离为22，则直线l的倾斜角A.π12,π4 B.π【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线的倾斜角．

依题意，当圆心到直线l的距离不超过2时，满足题中条件，由点到直线的距离公式得到|2a+2b|a2+b2≤2，化简得【靶向训练】练1-3(2022·江苏省南京市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,2)，C(5,6).若在以点C为圆心，r半径的圆上存在不同的两点A，B，使得PA-2AB=0，则r的取值范围为练1-4(2022·湖北省十堰市期中)

直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是A.|b|=2 B.-1<b≤1或b=-2

C.-1≤b≤2 D.考点二圆的切线问题【方法储备】1.求过圆C上一点P(x过圆x-a2+y-b2=①若kPC=0,则切线斜率不存在，即切线方程为②若kPC不存在，则切线斜率为0，即切线方程为y=y③若kPC存在且不为零，则切线斜率为-12.求过圆外一点P(x理论：过圆外一点可作圆的两条切线，至少有一条切线斜率存在.解题思路：①设切线方程为y-y0=kx-x0②若求出的k值有2个，即可得出两条切线方程；若k值只有1个，则另一条切线斜率不存在，要补充说明.3.过圆外一点P(x0,y（1）求切线长：PA=PC2-r（2）求直线AB的方程：转化为求以P为圆心,切线长PA为半径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程.角度1圆的切点方程【典例精讲】例3.(2022·江苏省无锡市模拟)已知圆M过点A(1,-1)，B(1,2)，C(5,2)，则圆M在点B处的切线方程为(

)A.3x+4y-2=0 B.3x-4y-2=0

C.4x-3y+2=0 D.4x-3y-2=0【名师点睛】本题考查圆的切线方程，涉及圆的方程的求解和切线问题．

由题意设出圆的方程，代点解方程组可得圆心，进而由斜率公式和直线的垂直关系得出切线斜率，可得切线方程．【靶向训练】练2-1(2022·天津市模拟)已知圆C的圆心坐标是(0,m)，若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1)，则圆C的标准方程为

．练2-2(2022·湖南省模拟)过点P(1,0)作圆(x-2)2+(y-2)2=1的切线，则切线方程为(

)A.x=1或3x+4y-3=0 B.x=1或3x-4y-3=0

C.y=1或4x-3y+4=0 D.y=1或3x-4y-3=0角度2圆的切点和切线长例4.(2021·全国新课标Ⅰ卷.多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，|PB|=32 D.当∠PBA最大时，【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想.求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断A与B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得|PB|判断C与D．【靶向训练】练2-3(2022·湖北省荆州市期中)已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为A.2 B.42 C.6 D.练2-4(2022·辽宁省沈阳市期中)过定点M的直线：kx-y+1-2k=0与圆：(x+1)2+(y-5)2=9相切于点N考点三圆的弦长问题【方法储备】1.求直线与圆相交弦的弦长：若直线y=kx+b与圆交于A,B两点，则直线被圆截得的弦长|AB|有两种求法：(1)几何法：根据弦心距d，半径r以及半弦长构成直角三角形，可得|AB|=2(2)代数法：设点Ax1,y可得AB=①若直线l:x=ty+m，则弦长AB②若直线l:x=③若直线l:y=n,则弦长AB2.圆的弦的性质的应用①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；②圆心与弦中点的连线垂直于这条弦.【特别提醒】注意讨论斜率不存在的情况，当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数法.【典例精讲】例5.(2021·北京卷)已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2A.±2 B.±2 C.±3【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，与圆有关的最值问题，属于中档题．

求得圆心和半径，由点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式可得当k=0时弦长取得最小值，解方程即可．【靶向训练】练3-1(2022·江苏省南通市联考.多选)已知P是圆O:x2+y2=4上的动点，直线l1:xA.l1⊥l2 B.直线l1与圆O相切

C.直线l2与圆O练3-2(2022·重庆市联考)若直线mx-ny-2=0(m>0,n>0)被圆C：x2+y2-4x+8y+11=0所截得的弦长为6，则2核心素养系列直观想象、逻辑推理——直线与圆的综合问题【方法储备】1.过圆外一点P(x0,y求四边形PACB中的最值问题：①S四边形PACB=2②求∠APB的最值，转化为求Rt△PAC中2.通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决。用坐标法解决几何问题的步骤：角度1圆中三角形(四边形)的面积例6.(2022·广东省梅州市联考)已知不经过坐标原点O的直线l与圆C：x2+y2-4x+4y=0交于A，B两点，若锐角△ABC的面积为23，则|AB|=

【名师点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中档题．

首先写出圆的标准方程，然后结合面积公式可得AB的长度，最后结合圆的性质分类讨论即可求得cos∠AOB【靶向训练】练4-1(2022·江苏省南通市期中)过直线3x+4y+12=0上一点P作圆C：x2+y2-2x=0的切线，切点为A，B，则四边形A.6 B.22 C.3 D.练4-2(2022·湖北省七市联考.多选)已知直线l：kx-y-k+1=0，圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2A.直线l与圆一定相交

B.当k=0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为37

C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为26

D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD角度2直线与圆的位置关系的实际应用例7.(2022·江苏省苏州市月考)如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O、A、B三点．

(1)求C的方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【名师点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式．

(1)由题意可求A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，可得F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0，解得D，E，F的值，即可得解．

【靶向训练】练4-3(2021·云南省模拟)已知某台风中心从A点出发，以每小时30千米的速度向东偏北30∘方向匀速移动，离该台风中心不超过225千米的地区为危险区域.若B在A的东偏南15∘方向上，且相距300千米，则B点处于危险区域的时长是

小时．练4-4(2022·山东省烟台市期末)右图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以452m为半径，B为公园入口,道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10m，AB=100m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位：m)(

)A.1002 B.1003 C.150

易错点1．忽略切线斜率不存在的情况例8.(2022·青海省西宁市五校联考)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，则切线方程为

．易错点2．求弦所在直线的方程时漏解例9.(2022·广东省梅州市联考)已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且圆C与x轴相切，点P(-5,-2)在圆C上，点Q(-4,-5)在圆C外．(1)求圆C的方程；(2)若过点(-2,-4)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=23，求直线l答案解析【教材改编】1.【解析】圆(x-1)2+(y+1)2=4的圆心C的坐标为(1,-1)，半径r=2，

则圆心C(1,-1)到直线l：x+y-2=0的距离d=|1-1-2|2=1，所以d<r，所以直线l与圆C相交，

因为半径为2.【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则圆拱所在圆的圆心位于y轴负半轴上，设该圆的圆心为0,-a，a>0，则该圆的方程为x2+y+a2=a2，

记水面下降前与圆的两交点为A，B；记水面下降1米后与圆的两交点为C，D；

由题意可得，A-10,-4，则-102+-4+a2=a2，解得a=292，

所以圆的方程为x2+y+2922=29【考点探究】例1.【解析】圆心C0,0到直线l的距离d=若点Aa,b在圆C上，则a2+b2=r2，所以若点Aa,b在圆C内，则a2+b2<r2，所以若点Aa,b在圆C外，则a2+b2>r2，所以若点Aa,b在直线l上，则a2+b2-r2=0即a故选：ABD． 练1-1.【解析】将M:x2+故圆心为M(-2,-1)，半径r=3

，故A错，B对；圆心为M(-2,-1)到直线x+y+2=0的距离为：d=12=2由圆心为M(-2,-1)到直线x+y+2=0的距离为：d=1圆M上的点到直线l的距离最大值为3+22，故故答案选：BCD．练1-2.【解析】∵直线kx+y-2-3k=0过定点(3,2)，且32∴点(3,2)在圆内，∴直线与圆相交．故选：C．例2.【解析】由题得圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2依题意，可知当圆心到直线l的距离不超过2时，满足圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为22所以圆心(2,2)到直线l的距离d=|2a+2b|a2化简得(-ab)2-4(-ab)+1≤0，解得2-3≤-故选B．练1-3.【解析】设AB中点为M，根据PA-2AB=则PC2-CM2=5r2-CM2，25-C练1-4.【解析】曲线x=1-y2有即x2+y2=1 (x≥0)，表示一个半圆(如图所示．

当直线y=x+b经过点(0,1)时，1=0+b，求得b=1；

当直线y=x+b经过点(1,0)、点(0,-1)时，0=1+b，求得b=-1；

当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=|b|2，求得b=-2，或

b=2(舍去)，

故要求的实数b的范围为-1<b≤1或例3.【解析】由题意设圆M的方程为(x-a)2代入A、B、C三点的坐标可得(1-a)2+(-1-b)2=r2(1-a)2+(2-b)2=r2(5-a)2+(2-b)2=练2-1.【解析】如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+12=-12，解得m=-2．

∴圆心为(0,-2)，则半径r=(-2-0)2+(-1+2)故答案为：x

 ​2练2-2.【解析】圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心为(2,2)，半径为1．

(1)当过点P的切线切线斜率不存在，即直线垂直于x轴时，方程为x=1．

∵圆心到直线的距离为d=1=r，∴直线x=1符合题意；

(2)当过点P的切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，

由点到直线的距离公式得

2k-2-kk2+1=1，解得k=34，此时切线方程为

例4.【解析】∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A、B的直线方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0，

圆圆心到直线x+2y-4=0的距离d=|1×5+2×5-4|∴点P到直线AB的距离的范围为[1155-4,1155+4]，

∵1155<5，∴1155-4<1，1155+4<10满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，

此时|BC|=(5-0)2+(5-2)2=练2-3.【解析】由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，

圆C∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上，即2+a-1=0，∴a=-1，得A(-4,-1)，即|AC|2又r=2，∴|AB|2=40-4=36，∴|AB|=6．练2-4.【解析】直线：kx-y+1-2k=0，即k(x-2)-y+1=0，过定点M(2,1)，

圆：(x+1)2+(y-5)2=9的圆心(-1,5)，半径为3；

定点M与圆心的距离为：(2+1)2+(1-5)2=5．

过定点M例5.【解析】由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线l的距离d=|m|k2+1，

弦长为2R2-d2=2练3-1.【解析】A选项：cosθ⋅sinθ+sinθ(-cosθ)=0，∴l1⊥l2，A对．

B选项：因为圆心O到直线l1的距离为4sin2θ+cos2θ=4>2，所以直线l1所以直线l2与圆O相交，截得的弦长为24-1=23，C正确；

D选项：联立xcosθ+ysinθ=4与xsinθ-ycosθ=1得x=sinθ+4cosθ，y=4sinθ-cosθ，

即Q(sinθ+4cosθ,4sinθ-cosθ)，所以|OQ|=(sinθ+4cosθ)2+(4sinθ-cosθ)练3-2.【解析】圆x2即圆(x-2)2+(y+4)2=9，它表示以(2,-4)为圆心、半径等于3的圆．

设弦心距为d，由题意可得32+d2=9，求得d=0，

可得直线经过圆心，故有2m+4n-2=0，即m+2n=1，再由m>0，n>0，

可得2m+1n【素养提升】例6.【解析】圆的方程即(x-2)2+(y+2)2=8，

由三角形面积公式可得：S△ABC=12|CA|×|CB|×sinC=r22sinC=4sinC=23，

则sinC=32，三角形为锐角三角形，则C=π3，△ABC为等边三角形，

从而|AB|=|AC|=r=22，练4-1.【解析】圆C：x2+y2-2x=0的圆心C(1,0)，半径r=1，

由于AC⊥PA，BC⊥PB，|PA|=|PB|，可得四边形PACB的面积为12r|PA|+12r|PB|=r|PA|=|PA|，

又|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-1,要求四边形PACB的面积的最小值则四边形PACB的面积的最小值为22．

故选：B练4-2.【解析】直线l：kx-y-k+1=0过定点P(1,1)，(1-2)2+(1+2)2=10<16，∴点P在圆内，

因此直线与圆一定相交，故A正确；

当k=0时，直线y=1，代入圆的方程得(x-2)2+(1+2)2=16，x=2±7，因此|MN|=27，

圆心为(2,2)，圆半径为r=4，圆心到直线l的距离为d=3，因此E到直线l的距离的最大值为h=4+3=7，

△MNE面积的最大值为S=12×7×27=77，故B错误；

当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，PC⊥l，|PC|=(1-2)2+(1+2)2=10，

因此|MN|min=242例7.【解析】(1)由题意可求A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2可得F=0402+402+4