第12章 全等三角形 解答题优生辅导训练 2023-2024学年人教版八年级数学上册含答案

第第页第12章全等三角形解答题优生辅导训练2023-2024学年人教版八年级数学上册（含答案）2023-2024学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》

解答题优生辅导训练（附答案）

1．如图AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE＝BE．

2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于E，交BC于F，CM⊥AF于M，求证：EM＝FM．

3．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

4．如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．

5．在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．

6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．

7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．

8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．

解：猜想：．

证明：

9．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝4，AC＝5，求AB的长．

小明的思路：

如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．

解决下列问题：

（1）图2中，AE＝，AB＝；

（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．

①如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程）

②当3∠A+4∠B＝180°，b＝2，c＝3时，可得a＝．

10．在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②求证：PA＝PM．

11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

12．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

13．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）一般情况，证明结论：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）

（3）拓展结论，设计新题：

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD的长为（请直接写出结果）．

14．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝；

（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝（用含α的式子表示）；

（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

15．已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．

问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．

16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．

解：∵AB＝AC，∠B＝30°．

∴∠C＝∠B＝30°（），

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．

∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，

∴EC＝EA＝3（），

∴∠EAC＝∠C＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝°．

∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，

∴BE＝2＝，

∴BC＝BE+EC＝．

17．几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；

（2）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

18．探究

问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．

拓展

问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．

推广

问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

19．如图，已知等腰△ABC，∠ACB＝120°，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得∠PAC＝∠QAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得∠AHQ＝60°．

（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明．

20．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．

（1）求证：AC＝BC；

（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；

（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

参考答案

1．证明：∵AF平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD＝∠BAD，

∴AE＝ED，

∵∠EDB+∠ADE＝90°，

∴∠BDE+∠BAD＝90°，

∵∠EBD+∠BAD＝90°，

∴∠BDE＝∠EBD，

∴BE＝ED，

∴AE＝BE．

2．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，

又∵∠BAC的平分线AF交CD于E，

∴∠DAE＝∠CAE，

∴∠AED＝∠CFE，

又∵∠AED＝∠CEF，

∴∠CEF＝∠CFE，

又∵CM⊥AF，

∴EM＝FM．

3．解：（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°

∴△ODE是等边三角形；

（2）答：BD＝DE＝EC，

其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠OBD＝30°，（

∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠ABO＝30°，

∴∠DBO＝∠DOB，

∴DB＝DO，（7分）

同理，EC＝EO，

∵DE＝OD＝OE，

∴BD＝DE＝EC．（

4．证明：∵△ABM和△BCN是正三角形，

∴AB＝MB，∠ABM＝∠CBN＝60°，

∴∠ABN＝∠MBC，

在△ABN和△MBC中，，

∴△ABN≌△MBC（SAS），

∴∠ANB＝∠MCB，AN＝CM，

∵P是AN中点，Q是CM中点，

∴NP＝CQ，

在△BNP和△BCQ中，，

∴△BNP≌△BCQ（SAS），

∴PB＝QB，∠PBN＝∠CBQ，

∴∠PBN+∠NBQ＝∠CBQ+∠NBQ＝∠CBN＝60°，

∴△BPQ是正三角形．

5．证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，

∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，

∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，

∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，

∴AD＝DF，AB＝AF，

∵AE⊥BD，

∴BE＝EF＝BF，

∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，

∴AC＝2BE．

6．解：如图，连接CF，

∵△ABC、△BEF都是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，

∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

∴△BAE≌△BCF（SAS），

∴∠BCF＝∠BAD＝30°，

如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG，则FD＝FG，CD＝CG，

∴∠FDG＝∠FGD，∠CDG＝∠CGD，

∴∠CDG+∠FDG＝∠CGD+∠FGD，

∵∠CDF＝∠ADC＝90°，

∴∠CGF＝90°，

∴BG⊥CG，

∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，

且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，

由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，

∴△DCG是等边三角形，

∴DG＝DC＝DB，

∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．

7．证明：设AD、EF的交点为K，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF．

∵AD是△ABC的角平分线

∴AD是线段EF的垂直平分线．

8．解：猜想∠1与∠2互补．

理由如下：作CF⊥AD延长线于F（如图），

∵∠3＝∠4，CE⊥AM，

∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，

Rt△ACF≌Rt△ACE，

∴AF＝AE．

∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），

∴BE﹣DF＝0，

∴BE＝DF，

∴△DFC≌△BEC（SAS），

∴∠5＝∠2，

∵∠1+∠5＝180°，

∴∠1+∠2＝180°．

故答案是：∠1与∠2互补；

作CF⊥AD延长线于F（如图），

∵∠3＝∠4，CE⊥AM，

∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，

Rt△ACF≌Rt△ACE，

∴AF＝AE．

∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），

∴BE﹣DF＝0，

∴BE＝DF，

∴△DFC≌△BEC（SAS），

∴∠5＝∠2，

∵∠1+∠5＝180°，

∴∠1+∠2＝180°，即∠1与∠2互补．

9．解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，则BE是中垂线，

故AB＝BD，∠A＝∠D．

∵3∠A+∠ABC＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，

∴∠BCA＝2∠A，

又∵∠BCA＝∠D+∠CBD，

∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，则∠CBD＝∠A，

∴DC＝BC＝4，

∴AD＝DC+AC＝4+5＝9，

∴AE＝AD＝4.5，

∴EC＝AD﹣CD＝4.5﹣4＝0.5．

∴在直角△BCE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：

BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即42﹣0.52＝AB2﹣4.52，

解得AB＝6．

故答案是：4.5；6；

（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，

故AB＝BD，∠A＝∠D．

①∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，

∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠D+∠DBC，

∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，

∵∠A＝∠D，

∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，

即∠DCB＝∠DBC，

∴DB＝DC＝c，

设EC＝x，

∴DE＝AE＝

∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝，

∵BE2＝BC2﹣EC2，BE2＝AB2﹣AE2，

∴a2﹣（）2＝c2﹣（）2，

解得，b＝．

②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得AB＝AD，连接BD，

故AB＝AD＝3，∠ABD＝∠D．

∵3∠A+4∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，

∴2∠A+3∠ABC＝∠ACB＝∠D+∠CBD＝∠ABC+∠CBD+∠CBD，

∴2∠A+2∠ABC＝2∠CBD，

∴∠A+∠ABC＝∠CBD＝∠BCD，

∴BD＝CD＝AD﹣AC＝1，

∴在直角△BDE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：

BD2﹣DE2＝AB2﹣AE2，即12﹣（1﹣CE）2＝32﹣（2+CE）2，

解得CE＝，

∴BE＝，

∴a＝＝，

故答案是：．

10．解：（1）∵△ABC为等边三角形

∴∠B＝60°

∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°

∵AP＝AQ

∴∠AQB＝∠APC＝80°，

（2）①补全图形如图所示，

②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．

由△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵AP＝AQ，

∴∠APQ＝∠AQP，

∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，

即∠PAB＝∠QAC，

∵点Q，M关于直线AC对称，

∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM

∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，

∵AP＝AM，

∴△APM为等边三角形

∴PA＝PM．

11．（1）证明：如图1所示：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，BC＝．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．

∴DA＝DB．

∵DE⊥AB于点E．

∴AE＝BE＝．

∴BC＝BE．

∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD＝DG+DM．

证明：

如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，

∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，

又∵DM＝DW，

∴△WDM是等边三角形，

∴MW＝DM，

在△WGM和△DBM中，

∵

∴△WGM≌△DBM，

∴BD＝WG＝DG+DM，

∴AD＝DG+DM．

（3）结论：AD＝DG﹣DN．

证明：延长BD至H，使得DH＝DN．

由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．

∵DE⊥AB于点E．

∴∠2＝∠3＝60°．

∴∠4＝∠5＝60°．

∴△NDH是等边三角形．

∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．

∴∠H＝∠2．

∵∠BNG＝60°，

∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．

即∠DNG＝∠HNB．

在△DNG和△HNB中，

∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG＝HB．

∵HB＝HD+DB＝ND+AD，

∴DG＝ND+AD．

∴AD＝DG﹣ND．

12．解：（1）∵△OCD是等边三角形，

∴OC＝CD，

而△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，

∵∠ACB＝∠OCD＝60°，

∴∠BCO＝∠ACD，

在△BOC与△ADC中，

∵，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC＝∠ADC，

而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，

则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，

∴b﹣d＝10°，

∴（60°﹣a）﹣d＝10°，

∴a+d＝50°，

即∠DAO＝50°，

①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，

∴190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°；

②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，

∴110°+80°+60°+α＝360°

∴α＝110°；

③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，

110°+50°+60°+α＝360°，

∴α＝140°．

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

13．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD，

故答案为：＝；

（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD．

（3）解：分为四种情况：

如图3，

∵AB＝AC＝1，AE＝2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，

∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，

∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD＝1+2＝3．

如图4，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC＝ED，

∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，

∵△ABC边长是1，AE＝2，

∴MN＝1，

∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，

∴CD＝2CM＝1；

如图5，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC＝ED；

如图6，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．

故答案为：1或3．

14．解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，

所以△ACD是等边三角形．

∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，

所以△ECB是等边三角形．

∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，

又∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD．

∵AC＝DC，CE＝BC，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC＝∠BDC．

∠AFB是△ADF的外角．

∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．

如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠AEC＝∠DBC，

又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，

∴∠EFD＝90°．

∴∠AFB＝90°．

如图3，∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．

∴∠ACE＝∠DCB．

又∵CA＝CD，CE＝CB，

∴△ACE≌△DCB（SAS）．

∴∠EAC＝∠BDC．

∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，

∴∠FAB+∠FBA＝120°．

∴∠AFB＝60°．

故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．

∴∠ACE＝∠DCB．

∴∠CAE＝∠CDB．

∴∠DFA＝∠ACD．

∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．

（3）∠AFB＝180°﹣α；

证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，

即∠ACE＝∠DCB．

在△ACE和△DCB中，

则△ACE≌△DCB（SAS）．

则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．

∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．

15．证明：连接DE、EF、DF．

（1）当点G在线段BE上时，如图①，

在EF上截取EH使EH＝BG．

∵D、E、F是等边△ABC三边中点，

∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE＝AB＝BD．

在△DBG和△DEH中，，

∴△DBG≌△DEH（SAS），

∴DG＝DH．

∴∠BDG＝∠EDH．

∵∠BDE＝∠GDE+∠BDG＝60°，

∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH＝60°

∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

（2）当点G在射线EC上时，如图②，

在EF上截取EH使EH＝BG．

由（1）可证△DBG≌△DEH．

∴DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．

∵∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，

∴∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°．

∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．

综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．

16．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠C＝∠B＝30°（等边对等角），

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，

∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，

∴EC＝EA＝3（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），

∴∠EAC＝∠C＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．

在Rt△ABE中，∠B＝30°，

∴BE＝2AE＝6，

∴BC＝BE+EC＝6+3＝9，

故答案为：等边对等角，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，90，AE，17．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB＝PD，

由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；

（2）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，

∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，

在Rt△MON中，MN＝＝＝10．

即△PQR周长的最小值等于10．

18．解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC

∴△AEB和△AFB都是直角三角形

∵D是AB的中点

∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线

∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴DE＝DF

∵DE＝kDF

∴k＝1；

（2）∵CB＝CA

∴∠CBA＝∠CAB

∵∠MAC＝∠MBE

∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC

即∠ABM＝∠BAM

∴AM＝BM

∵ME⊥BC，MF⊥AC

∴∠MEB＝∠MFA＝90

又∵∠MBE＝∠MAF

∴△MEB≌△MFA（AA