近世代数期末辅导市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

《近世代数》期末辅导一、群论二、环论11/24例1：设G={a,b,c},其乘法表如下：一、群论：

1、群定义，子群，不变子群证明：G是半群，但不是群。22/24证明：由于对任意G中三个元素因此G是半群，但由于G中没有单位元素，因此G不是群。由于a不是单位元，不然也不是单位元，不然同样，c也不是单位元。33/244例2：设H是群G中指数为2子群，则H是G不变子群。证明：指数为2是说G有关H左陪集个数只有2个。因此，G有关H左陪集可表达为H和aH，其中a是G任意一种不属于H元素。从而对任意两个不属于H元素a和b,有aH=bH.假如存在hH,使得则,于是,故,矛盾。因此,即H是G不变子群。例3：设A，B是群G两个子群，证明：假如AB是G子群，则AB=BA.4/24证：注意AB={}.因此，假如AB是群G子群，则.因此又对任意,例如其中,于是,即因此AB=BA.55/242、对称群:A={1,2,…,n}上所有双射组成集合，并按映射合成组成群。记为（1）运算：(2)循环体现，如：66/24例：计算例：乘法表77/243、群同态例：设G是群，是群同态充足必要条件是G是交换群。证明：对任意,f是群同态，则从而，即G是交换群。假如G是交换群，则因此f是群同态。88/244、循环群设G是一种群，称由a生成子群是G一种循环子群，尤其当G=时，称G是循环群。例：设G是阶数有限循环群，则存在自然数n使这是模n剩下类加法群.证明：设G=，假如元素a周期为n,则n是自然数。于是G={}.令,直接验证是群同构.99/24二.环论环定义：设R是非空集合，并有二个代数运算，分别称为加法与乘法，并记为“+”与“.”,还满足：（1）（R，+）是交换群（2）（R，.）是半群，即有乘法结合律.(3)乘法对加法有分派律.10/241、幂零元，可逆元等例：设R是交换环，则R中幂零元和是幂零元，但幂零元与可逆元和是可逆元。证明：设是幂零元，于是假如c是可逆元，由于并且也是幂零元，因此是可逆元，故是可逆元。1011/242、左抱负，右抱负，抱负（1）定义：I是环R左抱负,假如对I中任意两个元素a,b,有,并且对任意有类似有右抱负，抱负（双边抱负）定义.(2)假如I是环R抱负，则可构造商环,运算是例：模n剩下类环其中元素,习惯记为1112/243、模n剩下类环中计算()例：在中计算下面两个多项式加法运算和乘法运算：解：1213/24例：在中求元素逆元。解：由于，因此4、设是整数环Z中两个主抱负，求生成元a,b使解：a是n与m最大条约数，b是n与m最小公倍数。例：求生成元a,b使解：a=12,b=721314/24,然后按抱负定义证明：5、环同态因此,Ker(f)是抱负。例：设是环同态，则Ker(f)是R抱负。证明：由于,假如则1415/2415例：设R=是整数环上2阶矩阵环，矩阵证明：是环同态，并问是否为环同构？证：因此是映射，只须证明保持环运算故是环同态，又是双射，因此是环同构。16/246、极大抱负例：在有理系数多项式环Q[x]中，证明主抱负<x>是极大抱负。因此<x>是极大抱负。例：在整系数多项式环Z[x]中，证明主抱负<x>不是极大抱负。由于不是域。1617/247、素抱负、完全素抱负设R是环，真抱负I称为素抱负，假如对R中任意两个抱负A，B，若,有或设R是环，抱负I称为完全素抱负，假如对R中任意两个元素有或例：是域当且仅当n是素数当且仅当nZ是素抱负当且仅当nZ是极大抱负。例：Z中零抱负{0}是素抱负也是完全素抱负,但不是极大抱负。1718/248、相伴元，既约元，素元在整环R中，两个元素a,b称为相伴元，假如存在可逆元d使得a=db.在整环R中，非零非可逆元素p称为既约元，假如p=ab,则a是可逆元或a与p是相伴元。当然对于b也是如此。在整环R中，非零非可逆元素p称为素元，假如p整除ab，则p整除a或p整除b.1819/2419素元都是既约元，但反之不对。但在主抱负环中，既约元也是素元。例、证明是整环，并且2是该整环既约元，但不是素元。证明：首先证明是有单位元1交换环，然后证明，该环是无零因子环.事实上，假如,则20/24假如,则于是从而

目前若假如则由于a,b,c,d都是整数，因此上式是不也许。故d=0,同理b=0,于是则2021/24因此可逆元只能是1或-1.于是2不是可逆元。但若2=则2=于是4=故因此2是既约元。2122/24但2|4=，并且2不整除因此2不是素元。例、M=<p>是主抱负环R一种非零抱负，并且MR,则M是极大抱负当且仅当p是既约元。例、M=<x+3>是多项式环Q[x]极大抱负，由于x+3是Q[x]既约多项式。2223/249、欧氏环，唯一分解环欧氏环：整环，且有带余除法环。详细说，设R是整环，假如存在R