华师大版高等数学上册第二章导数与微分市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

高等数学（上册）1/128第二章导数与微分导数概念第一节函数求导法则第二节高阶函数第三节隐函数及参数方程所确定函数求导法第四节变化率问题举例第五节2/128导数概念第一节3/128一、引例变速直线运动瞬时速度1.

设有一做直线运动物体，其位置函数s=s(t)，当t=t0时，s0=s(t0)．当由时刻t0变到t0+Δt时，物体在Δt这段时间内所走过路程（见图2-1）为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)．4/128

当物体做匀速运动时，它速度是恒定，并且等于Δs/Δt，即它是物体在任意时刻t速度．当物体做变速运动时，Δs/Δt表达时刻从t0到t0+Δt这一段时间内平均速度v，即而Δt越小，这个平均速度就越接近于t0时刻速度，当Δt→0时，平均速度极限就是物体在时刻t0瞬时速度v(t0)，即一、引例5/128曲线切线斜率2.设曲线y=f(x)图像如图2-2所示，点M(x0,y0)为曲线上一定点，在曲线上另取一点M1(x0+Δx,y0+Δy)，点M1位置取决于Δx，它是曲线上一动点.下面来求点M(x0,y0)处切线斜率．由图2-2易知割线MM1斜率K为一、引例6/128

当点M1沿曲线趋向点M时，也就是当Δx→0时，割线MM1极限位置就是曲线在点M切线MT．显然，这时割线MM1倾角φ趋向于切线MT倾角α，则切线斜率一、引例7/128二、导数定义函数y=f(x)在点x0导数概念1.定理1

设函数y=f(x)在点x0某一种邻域内有定义．给x0以增量Δx，函数y对应地有增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，8/128

假如limΔx→0Δy/Δx不存在，则称y=f(x)在点x0处不可导．尤其地，若limΔx→0Δy/Δx=∞，y=f(x)在点x0处不可导，但有时为方便起见，常说导数为无穷大．有时为了方便讨论，导数定义也能够写成如下不一样形式，常见有由导数定义可见，导数从数量方面刻画了变化率问题实质：Δy/Δx表达自变量从x0变化到x0+Δx函数平均变化率；f′(x0)表达函数在点x0瞬时变化率．二、导数定义9/128函数y=f(x)在(a,b)上导数概念2.定义2

二、导数定义10/128

一般，某函数导数还是一种函数，我们称之为导函数；而函数在某一点导数是一种数值，我们称之为函数在这点导数值．注意二、导数定义11/128

由导数定义可知，求函数y=f(x)导数f′(x)，能够分为下列三个步骤：（1）求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；下面，就根据这三个步骤来求某些比较简单函数导数．二、导数定义12/128【例1】二、导数定义13/128【例2】二、导数定义14/128【例3】二、导数定义15/128【例4】二、导数定义16/128【例5】二、导数定义17/128【例6】二、导数定义18/128【例7】二、导数定义19/128分段函数在分段点处导数，必须用导数定义来求．注意二、导数定义20/128函数左、右导数概念3.定义3

二、导数定义21/128定义4

显然，当且仅当函数在一点左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导．二、导数定义22/128（1）函数f(x)在［a,b］上是可导，是指f(x)在开区间(a,b)内每一点可导，并且在左端点a处f′+(a)存在，在右端点b处f′－(b)存在．（2）假如f(x)是分段函数，当x0是分段函数分界点时，需要用定义计算出左导数f′－(x0)和右导数f′+(x0)．若f′－(x0)与f′+(x0)都存在且相等时，则f(x)在点x0可导，且有f′(x0)=f′－(x0)=f′+(x0)；若f′－(x0)≠f′+(x0)时，则f(x)在点x=x0处不可导．注意二、导数定义23/128【例8】二、导数定义24/128三、导数几何意义设曲线y=f(x)如图2-4所示，M0N=Δx,NM=Δy,tanβ=Δy/Δx，因此Δy/Δx就是割线M0M斜率．图2-425/128当Δx→0时，点M沿曲线y=f(x)趋于点M0，割线M0M趋于它极限位置M0T，而直线M0T是曲线y=f(x)在点M0处切线．很显著，当Δx→0时，有β→α，于是有因此，函数y=f(x)在点x0处导数值f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线斜率，即k=tanα=f′(x0)．三、导数几何意义26/128【例9】三、导数几何意义27/128四、函数可导性与连续性关系

这说明函数y=f(x)在点x处连续．因此，有如下结论.28/128定理

假如函数y=f(x)在点x处可导，那么函数y=f(x)在该点必连续．反之，一种函数在某点连续，却不一定在该点可导．也就是说函数在某点连续是在该点可导必要条件而非充足条件．例如，函数f(x)=|x|在(－∞,+∞)上连续，但在x=0处导数不存在.曲线f(x)=|x|在原点处没有切线．四、函数可导性与连续性关系29/128【例10】四、函数可导性与连续性关系30/128

解当x>1和x<1时，f(x)显然是可导，故要使f(x)为可导函数，只要使其在点x=1处可导即可．为此，应首先选择a,b，使其在点x=1处连续．要使f(x)在点x=1处可导，必须使f′－(1)=f′+(1)，即当a=2,b=0即可．四、函数可导性与连续性关系31/128【例11】四、函数可导性与连续性关系32/128讨论函数在一点是否连续，是否可导，先讨论其是否可导.若函数在该点可导，则在该点必连续；若在该点不可导，则还需考查其在该点是否连续．注意四、函数可导性与连续性关系33/128思考(1)若函数f(x)在点x0可导，是否f(x)在点x0某邻域内每一点都可导？请举例说明．(2)判断下列等式是否成立，请举例说明之．①f′(x0)=［f(x0)］′,f′(0)=［f(0)］′；②f′(x)=［f(x)］′,f′(y)=［f(y)］′．四、函数可导性与连续性关系34/128函数求导法则第二节35/128一、和、差、积、商求导法则定理1假如函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们和、差在点x处也可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).证明令y=u(x)±v(x)，当x有增量Δx时，u有增量Δu，v有增量Δv，从而y有增量Δy，且有36/128此定理能够推广到有限个函数代数和情形，即[u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).注意一、和、差、积、商求导法则37/128定理2

假如函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们积在点x处也可导，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).证明令y=u(x)v(x)，由于Δu=u(x+Δx)－u(x),Δv=v(x+Δx)－v(x),一、和、差、积、商求导法则38/128此定理也能够推广到有限个函数乘积情形，即[u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x)…un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).注意一、和、差、积、商求导法则39/128定理3

假如函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们商（除分母为零点外）在点x处也可导，且一、和、差、积、商求导法则40/128

一、和、差、积、商求导法则41/128【例1】一、和、差、积、商求导法则42/128【例2】一、和、差、积、商求导法则43/128【例3】一、和、差、积、商求导法则44/128【例4】注意一、和、差、积、商求导法则45/128二、反函数求导法则定理4若函数x=φ（y）在区间Iy内单调、可导,且φ′（y）≠0,则它反函数y=f（x）在区间Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}内也可导,且有46/128证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可知，x=φ(y)反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续.任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)单调性知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0,于是有二、反函数求导法则47/128【例5】二、反函数求导法则48/128【例6】二、反函数求导法则49/128【例7】二、反函数求导法则50/128三、常数和基本初等函数导数公式前面已经介绍了常数和基本初等函数求导数办法.为了便于记忆与应用，现将这些公式归纳如下：51/128四、复合函数求导法则定理5（复合函数求导法则）若函数u=φ（x）在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且52/128证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得对应增量Δu，从而函数y也取得对应增量Δy，当Δu≠0时，有四、复合函数求导法则53/128（1）上式说明,求复合函数y=f[φ(x)]对x导数时，可先求出y=f(u)对u导数和u=φ(x)对x导数，然后相乘即得.（2）复合函数求导法则能够推广到任意有限多种中间变量情形.以两个中间变量为例，设y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则复合函数y=fφ［ψ(x)］导数为注意四、复合函数求导法则54/128【例8】【例9】四、复合函数求导法则55/128【例10】【例11】四、复合函数求导法则56/128五、应用举例【例12】57/128五、应用举例58/128【例13】五、应用举例59/128高阶函数第三节60/128一、高阶导数引例61/128分析假如物体运动方程为s=s(t)，则变速直线运动瞬时速度v是路程s对时间t导数，即而加速度a又是速度v对时间t变化率，也就是速度v对时间t导数，即a=dv/dt.于是这种导数导数d/dt(ds/dt)或(s′)′称为s对t二阶导数，记为s″(t).因此，物体运动加速度就是路程s对时间t二阶导数.一、高阶导数62/128一般地，假如函数y=fx导数y′=f′(x)仍是x可导函数，就称y′=f′(x)导数为函数y=fx二阶导数，记为y″,f″(x),d2y/dx2或d2f(x)/dx2.对应地，把y=fx导数f′(x)称为函数y=f(x)一阶导数.一、高阶导数63/128二阶或二阶以上导数统称为高阶导数.由高阶导数定义知，求函数y=f(x)高阶导数，只需连续数次求导数即可，因此仍可应用前面求导办法进行计算.一、高阶导数64/128【例1】一、高阶导数65/128【例2】一、高阶导数66/128【例3】一、高阶导数67/128【例4】一、高阶导数68/128【例5】一、高阶导数69/128【例6】一、高阶导数70/128【例7】一、高阶导数71/128二、莱布尼茨公式假如函数u=ux与v=vx都在点x处具有n阶导数，那么u(x)+v(x)与u(x)-v(x)在点x处都具有n阶导数，且u(x)±v(x)（n）=[u(x)](n)±[v(x)](n),但乘积u(x)·v(x)n阶导数却并不如此简单.由［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)首先得出上式称为莱布尼茨公式.72/128【例8】二、莱布尼茨公式73/128三、应用举例【例9】74/128隐函数及参数方程所确定函数求导法第四节75/128一、隐函数导数前面研究函数都能够表达为y=f（x）形式，例如y=x＋x2，y=arctan（lnx）等.用这种方式体现函数叫作显函数．在实际问题中，经常遇到某些函数是由方程F（x，y）=0确定．例如，方程3x＋y2＋5=0表达一种函数.这样函数称为隐函数．76/128把一种隐函数化成显函数，叫作隐函数显化．例如，从方程3x＋y2＋5=0解出y=±-5-3x，就把隐函数化成显函数．隐函数显化有时是有困难，甚至是不也许．例如，ey=y＋x在x一定变化范围内虽然也能确定一种隐函数y=f（x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数求导办法.设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定隐函数，则F（x，f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所得到复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导，便可得到所求导数．我们通过几个例子来说明这种办法．√一、隐函数导数77/128【例1】一、隐函数导数78/128【例2】一、隐函数导数79/128【例3】一、隐函数导数80/128下面，我们来介绍一种主要求导办法——对数求导法，这是一种利用对数性质与隐函数求导法则来简化导数计算办法．它适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所组成比较复杂函数求导．这种办法是先在y=f（x）两边取对数，得到隐函数lny=lnf（x）；然后按照隐函数求导数思绪，求出y对x导数.下面举几个例子.一、隐函数导数81/128【例4】一、隐函数导数82/128【例5】一、隐函数导数83/128二、由参数方程所确定函数导数函数关系除了用显式和隐式表达外，还能够用参数方程来表达．一般，假如参数方程x=φ（t），确定y与x之间函数关系，则称此函数关系所示函数为由参数方程所确定函数．对于参数方程所确定函数求导，一般不需要由参数方程消去参数t化为y与x之间直接函数关系后再求导．84/128假如函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函数t=φ-1（x），则y为x复合函数．根据复合函数求导法则，得后来把上式作为参数方程所确定函数导数公式．二、由参数方程所确定函数导数85/128【例6】二、由参数方程所确定函数导数86/128【例7】二、由参数方程所确定函数导数87/128

这时，运动方向是水平，即抛射体达成最高点（见图2-5）．二、由参数方程所确定函数导数88/128变化率问题举例第五节89/128一、求非恒定电流电流强度由电学知识可知，恒定电流电流强度是单位时间内通过导体横截面电量Q，即i=Q/t,而非恒定电流电流强度就不能按上述公式计算.设非恒定电流通过导体横截面积电量Q是时间t函数，即Q=Q(t),当初间由t0变到t0+Δt时，通过导体电量由Q（t0）变到Q（t0+Δt）,此时平均电流强度为在时刻t0电流强度为90/128【例1】一、求非恒定电流电流强度91/128二、求物体比热由物理学知识可知，比热是衡量物体吸取（或释放）热量能力一种物理量.设有单位质量物体从0℃加热到T℃所吸取热量Q是温度T函数：Q=Q(T).给温度T以增量ΔT，则可求得物体在ΔT这段温度内平均比热为从而物体在T℃时比热为92/128【例2】二、求物体比热93/128三、进行边际分析在经济活动中，经常会遇到边际分析问题.例如，边际成本分析、边际需求分析、边际价格分析等.从数学角度看，经济活动中边际问题，就是对应经济函数变化率问题.设总成本函数c=c(q)是可导，其中q表达产量，c表达总成本，则产量为q边际成本为设定某种产品单位售价为P(P不变)，则总收入函数R(q)=P·q,总利润函数L(q)为L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q),上式两边对q求导，有L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).94/128有关边际有如下结论：(1)当c′(q0)＜P时，生产者应继续增加生产.(2)当c′(q0)＞P时，生产者应停顿增加生产，采取提升产品质量和档次来提升产品价格，或减少生产成本或减少产量措施来增加利润.(3)当c′(q0)=P时，此时边际成本等于边际收入，增加产量生产支出与销售所增产量收入大体相等.在产量q0处可取得最大利润.(4)当c′(q0)＜(q0)(平均成本)时，边际成本不大于平均成本，生产者可通过增加产量方式来减少平均成本.三、进行边际分析95/128【例3】三、进行边际分析96/128【例4】三、进行边际分析97/128

这表白，需求量在1225附近时，收入是减少.三、进行边际分析98/128四、进行弹性分析函数弹性1.设函数y=fx在点x=x0处可导，函数相对增量与自然变量相对增量

当Δx→0时极限称为f(x)在点x=x0处弹性（或弹性系数），也称为函数f(x)在点x0处相对变化率（或相对导数），记为99/128

四、进行弹性分析100/128弹性分析2.一般地说，利用函数弹性去讨论函数变化状态，要比利用导数去讨论函数变化状态复杂些.但对于经济函数f(x)来说，由于x和f(x)都非负（除利润函数外），因此，用函数弹性去讨论经济函数变化状态，不但容易，同步还能对函数变化情况与自然量变化情况进行比较.四、进行弹性分析101/128设经济函数为f(x)(f(x)>0,x>0），其对应弹性函数为η(x)=xf′(x)/f(x)，一般有下列结论：（1）当η(x)>0(或η(x)<0)时，则f(x)是增加（或减少）;（2）当0<η(x)<1或（－1<η(x)<0）时，则f(x)增加（或减少）幅度不大于x增加幅度；（3）当η(x)>1(或η(x)<－1)时，则f(x)增加（或减少）幅度大于x增加（或减少）幅度；（4）当η(x)=1（或η(x)=－1）时，则f(x)增加（或减少）幅度与x增加（或减少）幅度相同．四、进行弹性分析102/128【例5】四、进行弹性分析103/128

四、进行弹性分析104/128函数微分第六节105/128一、引例引例1求自由落体运动中，物体由时刻t到t+Δt所通过路程近似值.106/128分析自由落体路程s与时间t函数关系是s=1/2gt2，当初间从t到t+Δt时，路程s有对应增量Δs=1/2g(t+Δt)2－1/2gt2=gtΔt+1/2g(Δt)2.上式中，gtΔt是Δt线性函数，1/2g(Δt)2是当Δt→0时比Δt高阶无穷小，因此，当|Δt|很小时，能够把1/2g(Δt)2忽视，而得到路程增量近似值Δs≈gtΔt.一、引例107/128引例2一块正方形均匀铁板(见图2-6)，受热膨胀后边长由x0变到x0+Δx，问面积y变化了多少？图2-6一、引例108/128分析分析设此铁板边长为x,则面积y是x函数：y=x2.铁板受温度变化影响时，面积增量能够当作是当自变量x自x0取得增量Δx时,函数y对应增量Δy,即Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.上式中，2x0Δx是Δx线性函数，它是Δy主要部分；Δy另一部分是(Δx)2，它是Δy次要部分，当|Δx|很小时，(Δx)2比2x0Δx要小得多，也就是说，当Δx很小时，面积增量Δy能够近似地用2x0Δx表达，即Δy≈2x0Δx,由此式作为Δy近似值，略去部分(Δx)2是比Δx高阶无穷小.一、引例109/128

这两个问题实际意义虽然不一样，但在数量关系上却具有相同特点：函数增量能够表达成两部分，一部分为自变量增量线性函数，另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶无穷小，据此特点，便形成了微分概念.一、引例110/128二、微分定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,假如函数增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表达为Δy=A·Δx+o(Δx),其中A是与Δx无关常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·Δx为函数y=f(x)在点x0处对应于自变量增量Δx微分,记为dy|x=x0,即dy|x=x0=A·Δx.下面讨论可微与可导之间关系.11