【含高考模拟卷15套】海南省某中学2020届高考压轴卷数学试卷含解析

海南省嘉积中学2020届高考压轴卷数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知直线/“iχ+"y+l=O（a2+Z?≠0）与O：V+产=］θθ有公共点，并且公共点的横、纵坐标

均为整数，则这样的直线共有（）条.

A.60B.66C.72D.78

2.函数F（X）=Sin（2%—7Γ工）的图象与函数g（χ）的图象关于直线XT=T?对称，则关于函数y=g（χ）以下

2X

说法正确的是（）

A.最大值为1,图象关于直线X=］对称B.在（θ,上单调递减，为奇函数

J红,生］佟,。］

C∙在188J上单调递增，为偶函数D.周期为万，图象关于点I8J对称

22

3.已知椭圆。:=+*=1（。>匕〉0）的左、右焦点为耳，玛，左、右顶点为M,N,过月的直线/交

2

。于A,8两点（异于M、N）,AAKB的周长为4λQ,且直线AM与AN的斜率之积为-§,则C的

方程为（）

“τ—τm、一1

A.128b.124c.32d.3

4.已知（f+_L）的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中X的系数为（）

A.5B.10C.20D.40

5.命题”对∀x∈J2］,办2一%+Q>0,,为真命题的一个充分不必要条件可以是（）

1

.≥1a>—.≥2

2B.2C.a≥lD.5

6.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中AABC为直角三角形，四

边形DEFC为它的内接正方形，已知6C=2,AC=4,在ΔABC上任取一点，则此点取自正方形力EFC

的概率为（）

J_245

A.9B.9c.9D.9

α∙

7.已知复数Z=二品，则彳的虚部为（）

-3

A.-3B.3c.3iD.Z-

8.函数y=log,,（x+4）+2（«＞0,且αwl）的图象恒过定点A,且点A在角。的终边上，贝IJSin2。=

（）

A_1212

A.^13B.ɪɜC."BD.13

22

9.如图，过双曲线。：与一方=1（。＞0,。＞0）的右焦点尸作式轴的垂线交。于4,8两点（A在8的上

方），若AB到。的一条渐近线的距离分别为4,4，且《=44,则。的离心率为（）

4

√ΣB.4C,石

A.D.3

10.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）

A.-10B.-3C.4D.5

11.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，前〃项和为5.，若4=2,S6—S4=6α4,则％=

4B.ɪθC.16D.32

12.已知抛物线V=2px的焦点为F,点P为抛物线上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为E,

若NEPE=60,APEE的面积为16百，则P=O

A.2B.2&c.4D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x+2）（x+l）6展开式中，/项的系数为.所有项系数的和为.

14.已知三棱锥A-BCO的四个顶点都在球o的球面上，且AC=g,BD=2,AB=BC=CD=AD二母,

则球O的表面积

15.棱长为1的正方体ABCD-EFG”如图所示，M,N分别为直线Af,BG上的动点，则线段MN长

度的最小值为

16.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的

方差为

甲乙

98879

2109013

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

cosBcosC_sinA

17.（12分）已知在MBC中，角A,8,C的对边分别为。，b,c,且bCʌ/ɜsinC

求沙的值；若COS8+√5sinB=2,求ΔA8C面积的最大值.

18.（12分）已知低，为正项等比数列，4=2也=8,且数列｛%｝满足：α也T=log2^.求｛对｝和

｛2｝的通项公式；求数列｛4｝的前〃项和，，并求使得（7）恒成立力的取值范围.

19.（12分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C9且CCOSB+bcosC=2acosA.求A；若a

=2,且AABC的面积为百，求AABC的周长.

20.（12分）在MBC中，角A、B、C对应的边分别为〃、b、c,若（2α+与CoSC+ccosB=0.求

2√6,λd√3-l

C=------SinAcosB=--------

角C；若3且4时，求AABC的面积.

21.（12分）如图，AABC,AB=BC=2,NABC=90°,E,尸分别为A8,AC边的中点，以EF

为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE..

EF,平面PBE；设N为线段PF上动点，求直线BN与平

面PCF所成角的正弦值的最大值.

、.∑r7l

22.（10分）如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABCO是菱形，PAlYffiABCD,且NBAO=—,

3

点M是Pe的中点.

PA//平面MD8；设菱形ABCo的边长为“,若PB上PD,三棱

锥P-ABO的体积为3,求。的值.

参考答案

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、C

2、B

3、C

4、B

5、C

6、C

7、B

8、C

9、B

10、A

11、C

12、C

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、55192

14、4π

√3

15、3

16、2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（l）b="⑵史.

4

【解析】

分析：（1）在式子—+土W=叵空中运用正弦、余弦定理后可得b=百.（2）由CoSB+GSinB=2

bc3sinC

TT

经三角变换可得B=],然后运用余弦定理可得3="+c2-αc≥2zc-ac=αc,从而得到αc≤3,故

得S=-acsinB≤^^--

24

详解：（1）由题意及正、余弦定理得《+£2二0.+d之、=叵,

2abcIabc3c

整理得二二=息，

2abc3c

∙*∙b=∖∣3

/\

（2）由题意得CoS3+Gsin3=2sinB+—=2,

k6J

TF

:∙sin（B+-）=1,

6

•••8«0,乃），

由余弦定理得//=«2+c2-2accosB>

:∙3—a2+c2-ac≥2ac-ac—ac,

.∙.ac≤3,当且仅当α=c=百时等号成立.

._1∙nJ々√33√3

•∙Sc——CicsiriD<—×3×—-—------

2224

.∙.ΔA8C面积的最大值为迈.

4

点睛：(1)正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定

理中常用的变形/+，=(α+c)2-2αc,这样自然地与三角形的面积公式结合在一起.

(2)运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明.

M2-LM

18、(I)%=而，々=2"，(II)Tll=4--i2的取值范围为(-1,2)∙

【解析】

【分析】

(I)设正项等比数列｛"｝的公比为q,由4=2,2=8,可求出4,利用等比数列的通项公式可得〃，

又数列｛q｝满足：α也-I=IOg将2代入可得4；(H)利用错位相减法可得(，由(TyN<T,恒

成立，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出/1的值.

【详解】

b=2,d=8,q=j∙∣=2.

解：(I)设正项等比数列出｝的公比为4,2

n2n2n

:.bn=b2q-=2×2-=2-'.

又数列｛4｝满足：al,bn-∖=log2⅛.

γι

.∙.T-'-a,-∖=n-∖,可得4=产.

23n

(U)7L=I+]+齐+…+产，

12n-∖n

=----1—Z-+…4--------H------

2222,,^1T9

l-ɪ

1n_2nn

两式相减得：~T=1+—+^-+...+

n^^1^-2"

1----

2

2+n

化为：T=4-

n2n^1

ττ>0,因此数列｛7；｝为单调递增数列.

n-n-∖=合

(―D"∕<τ;,恒成立.

〃为偶数时，∕t<(η,)min=7ξ=2.

〃为奇数时，-2<0L)min=(=ι,解得4>—1.

综上可得：丸的取值范围为(一1,2).

【点睛】

本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法求数列的前〃项和、数列的单

调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

71

19、(1)A=—；(2)6.

3

【解析】

试题分析：(1)由CCOS5+灰:osC=2ocosA根据正弦定理可得SinCCoS3+sin3cosC=2sinAcosA,利

用两角和的正弦公式及诱导公式可得COSA=g,,A=?；(2)由ABC的面积为g,可得/20=4,

再利用余弦定理可得6=C=2,从而可得ABe的周长.

试题解析：(1);ccos8+Z?cosC=2acosA,:∙SinCCOSB+siaδcosC=2sinAcosA.

.∖sin(B+C)=2sinAcosA,

；・sinA=2sinAcosA.

ɪ乃

VA∈(0,^∙),：.SinA≠0,.,.cosA=—,ΛA=-.

v,23

(2)VABC的面积为6，・・・,。CSinA=且。C=G，,A=4.

24

Jl

由。=2,4=§及42=)2+/-2)80571,得4=/+/-4,ʌb2+c2=8.

又be=4,:∙b=c=2.

故其周长为6.

20、(1)C=—；(2)6~2λ^.

39

【解析】

【分析】

⑴利用正弦定理和三角恒等变换化简(2α+Z?)cosC+CCosB=0即得C的值.⑵先根据A+B=。及

2√6√2

SiMcosB=走二ɪ得到A==，B=T，再利用正弦定理求出b=/空：一ɪ^ɪ=々最后利用三

4124SinC√33

T

角形的面积公式求面积.

【详解】

(1)在ΔABC中，由正弦定理得：(2SinA+sinB)COSC+SinCbosB=O

即2sinAcosC+SinBcosC+SinCcosB=2SinACoSC+sin(B+C)

=2sinAcosC+SinA=0

所以SinA=O(不合题意舍去)或CoSC=—g且C∈(0,乃)

得：T

（2）由（1）知A+8=g及SinACOs3=正~^得：sinAcos（—--A=—~~ɪ

34UJ4

得：ɪsinAcosA+sin2A=~~~-

224

日n1∙cAʌ/ɜl-cos2Λ1...V3cos2Aʌ/ɜʌ/ɜ-1

即—sm2A÷------------------=—sm2A---------------+——=--------

4224444

整理得：sin2A--^j=——

ʌTCTT_.7TTC

.O<A<—・・——<2A——<—

3333

JΓJTJTJT

所以2A-2=即4=2,B=-

36124

2√6√2

在ΔABC中由正弦定理得：上=’^即方=/苧=-3广2-=1

sιnBsιnCSinC√33

T

1

赤以CUA142√6.1.o4√6√6-√26-26

所以5=-PCSIFLA=--------------sɪnl5=--------------------=------------

δabc2233949

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的

掌握水平和分析推理计算能力.

21、（I）见解析；

（n）应

35

【解析】

【分析】

(I)由题，易证得：.EF上BE,EFLPE,即可证得结论；

(D)取BE的中点O,连接PO,易证得Po_LBCFE,然后以O为原点，建立直角坐标系，利用空间向

量求得BN与平面PCF所成角的正弦值，求得其最大值即可.

【详解】

(I)E,F分别为AB,AC边的中点,所以EFilBC

因为ZASC=90°,：.EFLBE,EFVPE

又因为BECPE=E,所以EFL平面PBE.

(∏)取BE的中点O,连接PO,

由(1)知EP_L平面PBE,EFu平面BCFE,,

所以平面PBEl平面BCFE

因为PB=BE=PE,所以POlBE,

又因为POU平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE

所以POLBCTE.

过O作OM//BC交CF于M,分别以OB,OM,OP所在直线为

x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

-2-

F-1。2'，2''2

N为线段PF上一动点设N=(X,y,z),由,/W=ΛPF(0≤Λ≤1)

122JI22J

设平面PCF的法向量为In=（x,y,z）

,n>八—x+2y------z=0

,PCm=02'2-I-

则nc.n=>厂即取加=(-ι,ι,G)

PFm=Q1GC

——x+y------z=0

I22

设直线BN与平面PCF所成角θ

sinθ=|cos<BN-m>∣=

∖BN∖-∖m∖√5∙√222-2+l

2_4√70

直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为Me

【点睛】

本题考查了立体几何，利用空间向量解决线面角是解题的关键，属于中档题目.

22、（I）详见解析；（∏）a=2.

【解析】

【分析】

（I）证明PA//平面MO8,需要在平面中找出一条直线平行于PA,连接AC交08于点N,

连接MN便可得证；

（∏）由三棱锥P-A3。的体积为底，可以得出一个关于。的方程，即可求出。的值.

3

【详解】

解：（I）连接AC,与8。交于点N,连接MN.

由底面ABC。是菱形，知点N是AC的中点，

又点M是PC的中点，.∙."N//PA,

又MN。平面MDB,PA0平面

Λ上4//平面股。8.

(II)；PA_L平面ABC。，ΛPALAB,PAI.AD,

又AB=A。，：.RtbPAD≡RMAB,ΛPB=PD,

由得2P52=6r>2,

2万

则由菱形ABC。的边长为α,ZBAD=-,可得BD=6a,

：.PB=显a,PA=-a，

22

WSMeD.PA=gx#X冬争=存普'解得α=2∙

【点睛】

证明线面平行的方法是证明线线平行，线线平行主要从中位线、平行四边形等角度可以得到；几何体的体

积问题首先要分析几何体的结构，必要时可以将几何体进行切割或补形，其次要准确分析出高与底，从而

解决问题.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.函数/（X）=际百的定义域为（

(0,∣]U[2,+∞)

畤B.(2,+oo)c.02(2,+∞)

D.2

2.若方程/(x)-2=()在(Fo)内有解，则y=∕(x)的图象可能是()

3.在棱长为1的正方体ASS-A4GA中，E,F分别为线段CD和A耳上的动点，且满足CE=A尸，

则四边形。FbE所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的

面积之和()

ɪ5

A.有最小值5B.有最大值5C.为定值3D.为定值2

4.已知数列｛α,,｝的通项公式为4=26-2"，要使数列｛α,,｝的前，项和S“最大，则”的值为

A.14B.13或14C.12或UD.13或12

5.已知正三棱锥P-A6C内接于球。，三棱锥P-ABC的体积为名8%，且NAPO=30,则球。的

4

体积为()

432

一式厂--乃

A.3B.λ4.3万c.3D.16;T

Tl\

6.若CoS(-θ)=—,则sin2θ=()

42

1√31√3

A.2B.2c.2D.2

7.记(I-X)6=4)+Q](χ+l)+W(X+1)2+...+。6(1+1)6,则%+%+%+4=()

A.81B.365C.481D.728

8.函数y=萼上的部分图像大致为

1-Cosx

x2--(0≤x<l),

9.已知函数/3是定义在R上的偶函数，且满足/I2'若函数如)=2)i有

6个零点，则实数，〃的取值范围是

ʌ-(一J二)B∙(-ɪ,θ)(θ,ɪ)

16e~16e~

„[θA)

C.`e1D.e

2τr

10.已知函数/(x)=COS(2x-q-)+cos2x,将函数/(χ)的图象向左平移。(。>0)个单位长度，得到函

数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于y轴对称，则。的最小值是()

ππ2万5Tr

A.6B.3C.3D.6

11.若存在等比数列{4},使得4(4+4)=6q-9,则公比q的最大值为()

1+ʌ/ʒ1+∖[s—1+y∣5—1+>/5

A.4B.2c.4D.2

12.如图，正方体ABC。—A4G。中，E,F,M,N分别为BC,CCl,A1D1,的中点，则

直线EF,MN所成角的大小为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

λA5

13.MΔA8C中，~2t点M在边BC上，AMλAB+μAC(λ,μ≡R)t∖AB∖=4f∣C∣=^

若AMJ.BC,则九一〃=.

ʃ/X_4??-7

Ae

14.已知函数2-x,函数g@)=V-3∕χ-2",(a>l),若对任意玉D",总存在

XoW[0,1],使得g(%)=y(XJ成立，则。的取值范围是.

15.如图，在四边形ABCD中，ABAD=5,BD=4,。为BD的中点，且Ao=3OC，则CB∙CD=

TT

16.如图，在直角梯形ABC。中，ZBAD=-J,AB=AD=2,若M、N分别是边A。、BC上的动

点，满足AM=ZIAO，BN=(T)BC,其中4e(0,l),若AN∙BM=-2,则4的值为.

三、解答题：共7（）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为等腰梯形，AB//CD,其中点。在以AB为

直径的圆上，SD=ASC=S，=2AD=4,平面SCO_L平面ABCO.

证明：SOJ.平面ABCo.设点P是线段SB（不含端点）上一动点，当三

棱锥尸一SAC的体积为1时，求异面直线Ao与CP所成角的余弦值.

18.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，CD=I,BD=ν7,ΛB=4,ZABC=120,ZDCB=UO.

I)

C

¾求SinNOBC；求AO.

19.（12分）已知ΔΛBC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,ΔABC的面积为5,且S=历CoSA,

C=7求CoSB的值;若C

6求S的值.

20.（12分）2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋

级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的

200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组［30,35）,第二组［35,40）,第三组［40,45）,第四组［45,50）,

第五组［50,55）,第六组［55,60］,下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.

求实数。的值；若先在第四组、第五组、第六组中按组

分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.

①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率;

②设J为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求J的分布列和数学期望EC）.

21.（12分）如图，在直三棱柱中A4G-ABC中，ABLAC,AB=AC=2,AA=%点D是BC的中点.求

异面直线AB与所成角的余弦值；求平面ADCy与ABAi所成二面角的正弦值.

22.（10分）已知函数/。）=*2一次+1.次一11.求不等式/（“二°的解集4；在（1）的条件下，若

0,b∈A,求证,2∣α+4W∣4匕+4∣

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、C

2、D

3、D

4、D

5、C

6、A

7、B

8、C

9、C

10、A

11、D

12、C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9

13、41

3

∖≤a≤-

14、2

2

16、3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)详见解析；(2)ɪ.

7

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理，由勾股定理可得SD_LCO,再根据面面垂直的性质可得SOL平面ABCD；(2)

=,,

设BP=λBS'则p.ABcTSMBC2SD=2λ9由匕_弘C=⅛-ABC~^P-ABC=2-2/1=1,解得,

即点P是线段SB的中点.取AB的中点为M,连接CM,可证明四边形AMC。为平行四边形，从而

CMHAD,且CM=Ao=2,可得NPCM为异面直线AO与CP所成角(或补角)，再利用余弦定理

可得结果.

【详解】

(1)连接AC,BD,因为点。在以AB为直径的圆上，所以乙4。8=90。.

因为A8=2AO=4,所以ZA8O=30°,ZDAfi=60°.

所以BD=ABcosZABD=4×cos30o=2√3.

因为ABCO为等腰梯形，ABlICD，

所以Cf)=AB-2AD∙cos600=4-2x2x」=2.

2

又因为So=JLsc=∕i，

所以Sf>2+CD2=SC2,从而得SDLCD.

又因为平面SeD，平面ABe。，平面SCz）IABCD=CD,

所以SOL平面ABCD.

（2）由⑴得匕_"C=京必犷5。=（34。505。=2,

设BP="S,则JTS~加=2人

所以^p-SAC=^S-ABC~^P-ABC—2—22=1,解得A=—>

即点尸是线段Se的中点.

取A8的中点为M,连接CM,则由（1）及条件得AM//CQ,且AM=CO=2,

所以四边形AMCo为平行四边形，从而CM//AO,且CM=AO=2,

所以NPCM为异面直线AO与CP所成角（或补角）.

2

因为S4=JSD+AD?=』,所以PM=gL

因为SB=JSD2+BZ)2=而，所以CMPBC=*金*冬

7

所以CP?=PB?+BC2-2PB∙BC∙COSNPBC=-,

4

所以COSNPCM=MC2+*-P"=迈.

IMCPC7

即异面直线AD与CP所成角的余弦值为M.

7

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定及面面垂直的性质定理，异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的

角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦

定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对

值.

18、⑴0；(2)3√3∙

14

【解析】

【分析】

(1)根据正弦定理可求解出结果；(2)利用两角和差公式求出COSNA8。，再利用余弦定理求解出结果.

【详解】

(1)在A8DC中，CD=I,BD=∕j，ZDCB=UQo

DCBD

由正弦定理得

SinZDBCsin120°

所以SinzDBC=生∙sinl20°=3,@=叵

BD√7214

(2)在ABDC中，由已知可知NoBC是锐角，又SinNDBC="

14

所以COSZDBC=JlJ回［=—

VU4JH

所以COSZABZ)=COS(ZABC-ZDBC)=cosl200cosZDBC+sinl200sinZDBC

5^2_√3√21_√7

~~2~14~T'~H~~~14

在ΔA8D中，由余弦定理可知：

AD-=AB2+BD2-2AB-BDCoSNABD=16+7-2×4×√7又［-=27

所以AO=36

【点睛】

本题考查两角和差公式的应用、正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.

19、(1)CoSB=亚(2)S=3

10

【解析】

【分析】

(1)由已知利用三角形面积公式可得tanA=2,利用同角三角函数基本关系式可求sinA,cosA,由三角

形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求COSB的值.

(2)利用同角三角函数基本关系式可求SinB,利用正弦定理可得b的值，即可得S的值.

【详解】

(1)VS=—bcsinA=bccosA,

2

ΛsinA=2cosA,可得：tanA=2,

「△ABC中，A为锐角，

22

又VsinA+cosA=I9

,2

.∙.可得：sinA=,cosA

「兀

又∙.∙c二,

cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=—

10

（2）在AABC中，SinB=JI-CoS2台=2^,

10

由正弦定理，可得：b=c，警=3,

SinC

.∙.S=bccosA=3.

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角

形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

3

20、（1）α=0.036（2）①P②见解析

【解析】

【分析】

（1）根据频率和为1列方程，解方程求得。的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用

古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分

布列和数学期望.

【详解】

解：（D直方图中的组距为5,

∏ΓM0.024×5+2×0.03×5+o×5+2×0.04×5=l,

得α=0.036.

（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04X5X200=40（人），第五组的人数为0.03x5x200=30（人）,

第六组的人数为0∙03χ5χ200=30（人），

三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取

3人.

3

①三组各有一人参加优胜比赛的概率P=C∙G∙C

310

q0

②J的可能取值为O,1,2,3,

P(J=O)=等

cIO6

P(D

C2Ci3

收=2)=中

cIO10

P(X)=管4

J的分布列为

O123

j_j_31

P

62"W30

【点睛】

本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.

21、【解析】

试题分析：因为直线AB、AC、JJI两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

(1)向量4B,G。分别为直线AIB与GD的方向向量，求出4∣B,G。的坐标，由空间两向量夹角公式

COS(Al5,GQ)=AiBClD

丽网可得向量4氏6。夹角的余弦值;

(2)设平面,1C>G的法向量为勺=(X,y,z),

又4)=(1,1,0),AG=(0,2,4),根据法向量定义求出平面,IDG的一个法向量力，因为KC一平面

æ∖B,取平面.443的一个法向量为%=(0,1,0),先求出勺与巧夹角的余弦值，又平面ADG与平面

ABAl夹角与用与巧夹角相等或互补.

试题解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，-与Z,贝kd(oqo),BQQO),

C(O20)1(LLO),4(004),G(O24),

.∙.46=(2,0T),C1D=(1,-1,-4),

_率:可_18_3、而

,：COS<4RG∙D

-MCQl-√20×^8―^Io^

，异面直线48与所成角的余弦值为

(2)设平面的法向量为Hl=(X,y,Z),

π1∙AD=0,n1∙ACy=(),即且

令，则是平面的一个法向量,

取平面的一个法向量为巧=((),1,0),

nλn222

设平面与平面夹角的大小为，由CoSe

3,

IlMl耶Xi

得,故平面与平面夹角的正弦值为

考点：(1)空间向量的坐标运算；(2)直线方向向量、平面法向量的求法；(3)利用空间向量求线面角、

面面角；

22、(1)[x∖-2≤x≤2}(2)见证明

【解析】

【分析】

(1)利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集A.(2)将要证明的不等式两边平方，然后利用

差比较法证明不等式成立.

【详解】

解：(1)①当x<-1时，不等式F(X)<()可化为χ2+(χ+i)-(l-χ)≤0,解得：-2<x≤0,

故有-2≤x<-1；

②当一l≤x<l时，不等式/(x)≤0可化为d-(x+l)-(I-X)≤0,解得：—拒≤χ≤0,故有

一1≤x≤1；

③当x>l时，不等式/(尤)≤0可化为d一(χ+i)一(χ-i)≤o,解得：0≤χ≤2,故有l<x<2.

综上，不等式/(x)≤0的解集A为{x|-2≤x≤2}.

(2)由Ia力+4f-4∖a+b∖1=(a2b2+Sab+∖6)-4(a2+2ab+b2)

=a2b2-4«2-4b2+16=(a2-4).

因为.,b∈A,所以"≤4,/,2≤4,所以/-4≤0,b2-4≤Q,所以①一4)•一4)..0.

所以I或+4f≥4∣α+加2,故不等式2∣α+勿”∣αb+4∣成立.

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解含有绝对值的不等式，考查分析法证明不等式，考查差比较法证明不等式,

属于中档题.

2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,

前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为()

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

2.已知函数/(x)=Sin(OX+6)(0>O,-T≤e≤W)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为f，若将

函数/(x)的图象向左平移2后得到偶函数g。)的图象，则函数/O)的一个单调递减区间为()

[-ɪ¾¢,¾[θɪ][ɪ¾

A.36B.412c.ɜD.26

3.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且COSa≤0,sina>0,则实数a的取值范围是()

A.(—2,3]B.(—2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

4.如图,AB是圆锥SO的底面。的直径,。是圆。上异于A,B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另

一个交点为CZSD的中点.现给出以下结论:

①ASAC为直角三角形

②平面SAD，平面SBO

③平面PAB必与圆锥S。的某条母线平行

其中正确结论的个数是

5.已知奇函数/(x)满足/(x)=∕(x+4),当x∈(O,l)时，/(X)=4Λ,则/(log∕84)=()

_32232_3

A.23B.32c.4D.8

6.若函数/(x)=CoSx∈0,事"恰有三个不同的零点七,工2，/，则F+巧+与的取值

范围是()

5π1∖π97Γlπ

A.r[—,——x)L—

42

5π1∖π9πlπ

,,

C.48d.42

7.已知双曲线的渐近线方程为y=±等χ,一个焦点F（2,0）,则该双曲线的虚轴长为（）

A.1B.GC.2D.2λΛ

8.下列关于命题的说法错误的是（）

A.命题“若χ2-3x+2=0,贝!Ix=2”的逆否命题为“若XH2,则f-3x+2w0”

B.已知函数/（x）在区间[a,0上的图象是连续不断的,则命题“若"α）""）<O,则"x）在区间（α∕）

内至少有一个零点”的逆命题为假命题