《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题及答案1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则x=3。2.与向量a=(-5,4)平行的向量是(-5k,4k)。3.若点P分AB所成的比为3/4，则A分BP所成的比是-3/7。4.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为120°。5.若|a-b|=41-20√3,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=-103。6.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(7/9,7/3)。7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b与b垂直，则x的值为3/23。8.设点P分有向线段P1P2的比是λ，且点P在有向线段P1P2的延长线上，则λ的取值范围是(-∞,-1)。9.设四边形ABCD中，有DC=1/2AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是矩形。10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为y=x+6。11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于(-2,-1)。12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是(a-b,b-a)。1.如果三个点P（1，1）、A（2，-4）和B（x,-9）共线，则x的值为多少？答案是3。2.下列哪个向量与向量a=(-5,4)平行？A.（-5k,4k）B.(-54k,-k)C.(-10,2)D.(5k,4k)答案是A，即(-5k,4k)。3.如果点P将线段AB分成比为3/4的两部分，那么A点和BP点的比是多少？A.3/7B.773/3C.-3D.-7答案是-3/7。4.已知向量a、b，且a·b=-40，|a|=10,|b|=8，那么向量a和b的夹角是多少？A.60°B.-60°C.120°D.-120°答案是120°。5.如果|a-b|=41-20√3，|a|=4，|b|=5，那么向量a·b等于多少？A.103B.-103C.102D.106答案是-103。6.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求向量c的坐标。A.（7/9，7/3）B.（－7/3，7/9）C.（7/3，－7/9）D.（－7/9，－7/3）答案是A，即（7/9，7/3）。7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b与b垂直，则x的值是多少？A.23/3B.3/23C.2D.-2/5答案是3/23。8.点P将有向线段P1P2分成比为λ的两部分，且点P在有向线段P1P2的延长线上，求λ的取值范围。A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-1/2)答案是(-∞,-1)。9.四边形ABCD中，有DC=1/2AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是什么？A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案是矩形。10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式是什么？A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-10答案是y=x+6。11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，向量a等于什么？A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)答案是(-2,-1)。12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是什么？A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)答案是(a-b,b-a)。5.已知向量p=(2,x-1)，q=(x,-3)，且p⊥q，求实数a构成的集合。解：由p⊥q可得2x-2+3x=0，解得x=1。因此集合A={x|ax=2}={2}，代入p和q中，得到p=(2,0)和q=(1,-3)，由于p⊥q，所以p·q=0，即2-3a=0，解得a=2/3。因此实数a构成的集合是{2/3}。7.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，求灯塔A与B的距离。解：如图所示，连接AC和BC，设AC=BC=ak，∠ACB=180°-20°-40°=120°，由余弦定理得AB^2=2ak^2-2ak^2cos120°=3ak^2，因此AB=ak√3。所以灯塔A与B的距离为2ak√3。8.在△ABC中，若BC=AB·BC+CB·CA+BC·BA，则△ABC是什么三角形？解：根据三角不等式，有AB+AC>BC，BC+AB>AC，AC+BC>AB，将它们带入题目中的等式，得到AB·BC+CB·CA+BC·BA>2BC^2，即AB·BC+CB·CA+BC·BA>2AB·BCcosA，移项得到cosA<1/2，因此∠A<60°，同理可得∠B<60°和∠C<60°，因此△ABC是锐角三角形。9.已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足PA+PB+PC=3AD，设PD=λ，求λ的值。解：由三角不等式可得PA+PB>AB，PA+PC>AC，PB+PC>BC，将它们带入题目中的等式，得到PA+PB+PC>2AD+BC，即3AD>2AD+BC，解得AD>BC/2。由于D是BC的中点，所以AD=BD=CD=BC/2，因此PA+PB+PC>3AD，即PD<AD，因此λ<1/2。又因为PD=|AD-AP|，所以λ=1/2-AP，代入题目中的等式可得AP+BP+CP=3/2，因此1/2-λ+1/2-λ+PC=3/2，解得λ=1/6。11.设向量a=(1,2)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ的值为多少？解：由共线的定义可得向量λa+b=kc，其中k为常数。将向量a和b代入得到λ(1,2)+(2,3)=k(-4,-7)，化简得到(λ+2k,-7k)=(4,7)，解得λ=-2，因此k=-1/3。因此λ的值为-2。12.已知向量a与b的夹角为120°，若向量c=a+b，且c⊥a，则|b|/|a|的值为多少？解：由向量的内积公式可得a·c=a·(a+b)=a^2+ab=0，因此a·b=-a^2，又由余弦定理可得|b|^2=|a|^2+|a||b|cos120°=|a|^2-|a||b|/2，代入a·b=-a^2中得到|b|^2=3|a|^2/4，因此|b|/|a|=√3/2。13.已知向量a=(tanα,1)，b=(3,1)，α∈(0,π)，且a∥b，则α的值为多少？解：由向量平行的定义可得a=kb，其中k为常数。将向量a和b代入得到tanα=k×3，即tanα=3k，又由向量的模长公式可得|a|=√(tan^2α+1)，|b|=√10，因此k=|a|/|b|=√(tan^2α+1)/√10，代入tanα=3k中得到tanα=3√(tan^2α+1)/√10，解得tanα=3/√10，因此α=arctan(3/√10)。17.已知点A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，求点D的坐标。解析：连结AC，设AD=x，则DC=AC-AD=AB=√10，利用相似三角形可得DE=√10/2，又因为DE∥BC，所以DE的斜率等于BC的斜率，即(3-x)/(0-2)=(0-1)/(3-0)，解得x=7/5，即D的坐标为(7/5,23/5)。18.已知A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈[0，π/2]。(1)若|AC|=|BC|，求角α的值。解析：由勾股定理可得AC=√(cos^2α+sin^2α-3)^2+(sinα-0)^2，BC=√(cos^2α+sin^2α-0)^2+(sinα-3)^2，解方程可得cosα=3/5，sinα=4/5，即α=arccos(3/5)。(2)若AC·BC=-1，求22sinα+sin2α/(1+tanα)的值。解析：AC·BC=-1可得cosα-3sinα=±2/5，代入式子化简可得答案为5/2。19.在△ABC中，已知内角A=π/3，边BC=23，设内角B=x，周长为y。(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域。解析：由正弦定理可得a=23/sin(π/3)=46/√3，c=46/√3，b=46/√3sinx/sin(π/3-x)，周长为y=23+46/√3sinx/sin(π/3-x)+46/√3，定义域为[0，π]。(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状。解析：y的最大值为69+46/√3，当sinx=1/2时取得最大值，此时△ABC为等边三角形。20.已知向量m=(sinA，cosA)，n=(3，-1)，m·n=1，且A为锐角。(1)求角A的大小。解析：m·n=sinA×3+cosA×(-1)=1，整理得tanA=1/3，所以A=arctan(1/3)。(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域。解析：f(x)=cos2x+2cosAsin2x+2cosAsin2x+2cosAsin(x+2x)，由于-1≤cos2x≤1，-1≤sin(x+2x)≤1，所以最大值为2+2cosA，最小值为-2-2cosA。21.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a+b)sin(A-B)=(a-b)sinC。(1)若a=3，b=4，求|CA+CB|的值。解析：由正弦定理可得c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a-b)/(sinA-sinB)，化简可得sinA/sinB=7/5，代入余弦定理可得|CA+CB|=2√14。(2)若C=π/3，△ABC的面积是3，求AB·BC+BC·CA+CA·AB的值。解析：由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=c/sinC=6/√3，代入面积公式可得sinA=√3/4，cosA=1/4，sinB=7/8，cosB=√3/8，sinC=√3/2，cosC=1/2，代入式子可得答案为105/2。4.解析：设向量c=(x,y)，则c+a=(x+1,y+2)，a+b=(3,-1)。由(c+a)∥b，c⊥(a+b)，得到2(y+2)=-3(x+1)，3x-y=0。解得x=-7/9，y=-7/3，故选D。5.解析：由p⊥q，得到2x-3(x-1)=0，即x=3，故A={3}。又{x|ax=2}⊆A，因此{x|ax=2}={3}或为空集，故a=2或a=3/2，实数a构成的集合为{0,2/3}。6.解析：由题意得到acsin30°=2，因此ac=6。由余弦定理得到b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-2ac-2accos30°，即b^2=4+2√3，故b=3+√3。7.解析：如图，△ABC中，AC=BC=a，∠ACB=120°。由余弦定理得到AB^2=AC^2+BC^2-2AC·BCcos120°=3a^2，因此AB=√(3)a。8.解析：由向量共线条件得到AB·BC+CB·CA=BC·BA，即BC^2-BC·CA=BC·(BC+CA)=BC·BA。因此∠B=π/2，故△ABC为直角三角形。9.解析：设底边长为a，则腰长为2a。由余弦定理得到cosA=(4a^2+4a^2-a^2)/(2×2a×2a)=7/8，因此sinA=√(1-cos^2A)=15/8，tanA=sinA/cosA=15/7，故选D。10.解析：由向量共线条件得到PA+PB+PC=0，即PA-PB+PC=BA+PC=0。因此四边形PCAB是平行四边形，故|PA|=|PD+DA|=2。11.解析：由题意得到λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3)。由向量共线条件得到-7(λ+2)+4(2λ+3)=0，解得λ=2，因此答案为2。12.解析：由题意得到a·b=|a||b|cos120°=-1/2|a||b|。又因为c⊥a，所以(a+b)·a=0，即a+a·b=0，因此|a|=-a·b/|b|=1/2|a|，解得|a|=|b|/2，故答案为1/2。根据正弦定理，可以推导出2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，因为A、B为三角形的内角。(1)如果a=3，b=4，则A≠B，因此A+B=π/2。