新141单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义课件

§4正弦函数和余弦函数的概念及其性质单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义必备知识·自主学习1.单位圆在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.导思

1.正弦、余弦函数的自变量、函数值分别是什么?2.正弦、余弦函数的函数值如何计算?2.正弦函数、余弦函数的定义(1)定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=______;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=______.

sinαcosα(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数).②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦③三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.角与实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如下图.④sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,单独的“sin〞“cos〞是没有意义的.3.正弦函数、余弦函数定义的拓展任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),如图那么,比值叫作α的正弦,记作sinα,即sinα=;比值叫作α的余弦,记作cosα,即cosα=.4.正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的定义域为全体实数,值域为[-1,1].【思考】对于任意角α,sinα,cosα都有意义吗?提示:由三角函数的定义可知,对于任意角α,sinα,cosα都有意义.【根底小测】1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞)(1)假设sinα>0,那么角α的终边在第一或第二象限. ()(2)假设sinα=sinβ,那么α=β. ()提示:(1)×.因为sinα>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上.(2)×.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin60°=sin120°,但60°≠120°2.假设角α的终边与单位圆相交于点,那么sinα的值为 ()A.B.-C.D.-【解析】选B.利用任意角三角函数的定义可知,点到原点的距离为1,那么sinα==.3.(教材二次开发:练习改编)P(3,4)是α终边上一点,那么sinα等于 ()A. B. C. D.【解析】选C.因为r==5,所以sinα=关键能力·合作学习类型一利用正、余弦函数的定义求值(数学抽象、数学运算)【题组训练】1.设角α的终边上有一点P(4,-3),那么2sinα+cosα的值是 ()A.- B.C.-或 2.P(-2,y)是角α终边上一点,且sinα=-,那么cosα=______.

3.角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sinα,cosα的值.【解析】1.选A.由三角函数的定义可知sinα==-,cosα==,所以2sinα+cosα=2×+=-.2.因为r=,所以sinα===-.所以y<0,所以y=-1,r=,所以cosα===-.答案:-3.方法一:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0,y0),那么解得即P,所以sinα=y0=,cosα=x0=.方法二:设点P(a,2a)是角α终边上任意一点,其中a>0.因为r=|OP|==a(O为坐标原点),所以sinα===,cosα===.【解题策略】

求任意角的三角函数值的两种方法方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦值.方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点O不重合);第二步,计算r:r=|OP|=(r>0);第三步,求值:由sinα=,cosα=求值.类型二单位圆中的角(直观想象)【典例】在直角坐标系的单位圆中,α=π.(1)画出角α;(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;(3)求出角α的正弦函数值.【思路导引】(1)利用终边相同的角找到α的终边;(2)利用直角三角形中的边角关系求交点坐标;(3)利用三角函数定义求正弦函数值.【解析】(1)因为α=π=2π+π,所以角α的终边与π的终边相同.以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转π,与单位圆交于点P,那么角α如下图.(2)因为α=π,所以点P在第二象限,由(1)知∠AOP=过点P作PM⊥x轴于点M.那么在Rt△OMP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,由直角三角形的边角关系,得OM=,MP=,所以得点P的坐标为.(3)根据正弦函数的定义有sin=.【解题策略】(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π<β≤π,k∈Z)的形式,那么角β的终边即为角α的终边,k为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数.(2)求角α与单位圆的交点坐标,应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解,进而得角α的正弦、余弦值.【跟踪训练】1.角α的终边和单位圆的交点为P,那么sinα=______,cosα=______.

2.在直角坐标系的单位圆中,α=-π.(1)画出角α;(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;(3)求出角α的正弦、余弦值.【解析】1.根据正弦函数和余弦函数的定义知,sinα=-,cosα=.答案:-2.(1)因为α=-π=-2π-,所以角α的终边与-的终边相同,如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,顺时针旋转π,与单位圆交于点P,那么角α如下图.(2)因为α=-π,所以点P在第四象限.由(1)知,∠AOP=,过点P作PM⊥x轴于点M,那么在Rt△MOP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,由直角三角形的边角关系,得OM=,MP=,所以得点P的坐标为.(3)根据正弦、余弦函数的定义,得sin=-,cos=.1.假设角α的终边过点,那么cosα的值为 ()

A. B. C. D.【解析】选A.易知点在单位圆上,故cosα=.课堂检测·素养达标2.角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=-,那么b的值为 ()【解析】选A.因为r=,cosα===-.所以b=3.3.角α的终边上一点的坐标为,那么角α的最小正值为______.

【解析】由题意知,角α的终边上一点的坐标为,所以cosα==.又α的终边在第四象限,所以α的最小值为.答案:π4.(教材二次开发:练习改编)设a=sin105°·cos230°,b=sin2·cos1,那么 ()>0,b>0 >0,b<0<0,b>0 <0,b<0【解析】选C.因为sin105°>0,cos230°<0,所以a=sin105°·cos230°<0.因为0<1<<2<π,所以sin2>0,cos1>0,所以b=sin2·cos1>0.5.角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a,b),假设sinα=-,求a,b的值,并说明α是第几象限角.【解析】由正弦函数的定义可知b=sinα=-.又a2+b2=1,所以a2=1-b2=,所以a=±.故a=±,b=-.当a=,b=-时,点P在第四象限,此时角α是第四象限角;当a=-,b=-时,点P在第三象限,此时角α是第三象限角.四单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义【根底通关一水平一】(15分钟30分)1.sinα=,cosα=-,那么角α所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由sinα=得角α的终边在第一或第二象限;由cosα=-得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第二象限.课时素养评价2.假设α是第二象限角,那么点P(sinα,cosα)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为α是第二象限角,所以cosα<0,sinα>0.所以点P在第四象限.3.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,那么的值为()【解析】选=cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos60°=,y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin60°=.所以=.4.求值sin420°cos750°+sin(-690°)·cos(-660°)=_______.

【解析】原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=×+×=1.答案:15.如果α的终边过点(2sin30°,-2cos30°),那么sinα的值等于.

【解析】因为2sin30°=2×=1,-2cos30°=-2×=-,所以α的终边过点(1,-),所以sinα==.答案:-6.点M是单位圆上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cosα的值.【解析】设点M的坐标为(x,y).由题意,可知sinα=-,即y=-.因为点M在单位圆上,所以x2+y2=1,即x2+=1,解得x1=或x2=-.所以cosα=或cosα=-.【能力进阶一水平二】(20分钟40分)一、单项选择题(每题5分,共15分)1.如图,过原点的直线与单位圆交于P,Q两点,其中P点在角的终边上,那么P点的横坐标是 ()

【解析】选=-.2.假设α=-5,那么 ()α>0,cosα>0 α>0,cosα<0α<0,cosα>0 α<0,cosα<0【解析】选A.因为-5(弧度制)为第一象限角,所以其正弦、余弦值都是正的,即sinα>0,cosα>0.3.点P(cos2018°,sin2018°)所在的象限是 ()A.一 B.二 C.三 D.四【解析】选C.2018°=5×360°+218°,即角2018°与角218°的终边相同,218°=180°+38°,所以角218°在第三象限,即角2018°也在第三象限.所以cos2018°<0,sin2018°<0,所以点P在第三象限.【补偿训练】角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,那么m的值为()A.- B. C.- D.【解析】选B.因为r=,所以cosα==-,所以m>0,所以=,即m=.二、多项选择题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.假设角α的终边上有一点P(-4,a),且sinα·cosα=,那么a的值为 ()A.4 B. C.-4 D.-【解题指南】先利用正弦函数、余弦函数定义列出关系式,再代入式子解方程.【解析】选CD.依题意,可知sinα=,cosα=.又sinα·cosα=,所以=,即a2+16a+16=0,解得a=-4或-.【补偿训练】α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,那么a的取值可以是 ()

【解析】选ABC.由题意知解得-2<a≤3.【光速解题】把答案代入正弦函数、余弦函数定义检验.三、填空题(每题5分,共10分)5.角α的终边上的点P(x,y)满