讲复数复变函数及其导数课件

《数学物理方法》绪论

物理学进展及其重要性

数学与物理的关系如何学好《数学物理方法》参考书目主要内容《数学物理方法》绪论物理学进展及其重要性主要内容1一、物理学进展及其重要性(1)经典物理学经典力学(Newton)经典热力学(Carnot,Clausius)经典电磁学(Coulomb,Maxwell)等等其中一些主观臆断性的结论是非科学的，如：Newton认为光仅是一些传播的粒子。1、发展史（包括：经典与量子）一、物理学进展及其重要性(1)经典物理学1、发展史（包括：经2（2）量子物理学（Plank,Heisenberg,

Dirac,Einstein为代表）

图1：黑体辐射能量密度曲线背景：二十世纪初出现的几朵乌云，比如黑体辐射、光电效应等。（2）量子物理学（Plank,Heisenberg,

D3光电效应：只有光照大于临界频率时，光路才导通。光路是否导通与光强无关。光照能量，下图光路导通。图2：光电效应光路光电效应：只有光照大于临界频率时，光路才导通。光路是否导通与42、物理学的发展方向：深度和广度力学弹性力学流体力学理论力学电磁学场与波微波磁性学：顺、抗、铁磁元激发（场）声子自旋（电子学）等离极元实物光子快子（1）深度（方向细化）2、物理学的发展方向：深度和广度力学弹性力学流体力学理论力学5（2）广度（学科交叉）

如天体物理：实验手段-天文望远镜数学物理生物物理：《生命是什么》、负熵自然辩证法：物相互转化（2）广度（学科交叉）天体物理：实验手段-天文望远镜数学物理63、物理学推动的三次技术革命Watt蒸汽机代替手工Maxwell为代表的电气化：扩大了生产规模，提高了效率自动化和新能源革命：纳米科技及量子计算机、自然能与氢能、原子能3、物理学推动的三次技术革命Watt蒸汽机代替手工7二、数学与物理（相辅相成）物理推动数学：Dirac引出的算符发展为数学中的算符学；热力学中的熵发展为数学中熵函数。数学也推动物理：格林函数在物理学中的应用；霍·金从数学推断出：宇宙是由无限高密的奇点经大爆炸形成的，并给出守恒方程：二、数学与物理（相辅相成）物理推动数学：Dirac引出的算符8Fermi把物理研究总结为两类：把问题简化为物理模型问题有严谨的数学过程Fermi把物理研究总结为两类：把问题简化为物理模型9三、如何学好《数学物理方法》与实变函数联系把物理规律翻译成数学公式通过习题练习，掌握数、理互译过程广泛阅读，掌握多种技能（如：计算软件Matlab、物理实验等）提高综合能力三、如何学好《数学物理方法》与实变函数联系10参考书：（不同体系）郭敦仁编《数学物理方法》，高教社吴崇试编《数学物理方法》，北大出版社潘忠诚编《数学物理方法》，南开大学胡嗣柱编《数学物理方法》，高教社邵惠民编《数学物理方法》，科学出版社姚端正编《数学物理方法》，科学出版社王竹溪编《特殊函数》，北大出版社季孝达编《数学物理方程》，科学出版社参考书：（不同体系）郭敦仁编《数学物理方法》，高教社11第一章复变函数

复数的引入

复数的表示复数运算复变函数复数的导数及求导规则柯西-黎曼方程（C-R条件）本节内容第一章复变函数复数的引入本节内容12§1.1复数及其运算2、三种表示及关系：代数式：三角式：指数式：其中，模，x、y分别为实部和虚部；复角记为：定义复角主值：。复数的几何意义：代表向量。注：特殊复数“0”。Yz(x,y)0jX复平面1、引入虚单位：（数学体系封闭性要求）§1.1复数及其运算2、三种表示及关系：代133、共轭复数z*（或记为）

定义：z*=x-iy，与z关于X轴对称。二、无限远点定义：复平面上模为无限大的复数归并成的一点，可以用复数球的北极点来表示。如图：复平面上A点与球面上的唯一点A’点对应，复平面上模为无限大的点与球的北极点N对应。O为复平面原点，复数球的南极点。3、共轭复数z*（或记为）

定义：z*=x-i14三、复数运算1、和差：2、积：3、商：4、幂：5、根式：三、复数运算1、和差：2、积：3、商：4、幂：5、根式：15四、复运算结果的解释1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则四边形法则z1z2z3三角形法则z1z2z3四、复运算结果的解释1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法162、根式结果的多值性令其中可取k=0，1…n-1共n个值。2、根式结果的多值性令其中可取k=0，1…n-1共n个值17五、共轭运算1、2、3、4、5、五、共轭运算1、2、3、4、5、18证明1、令得证。证明1、令得证。19共同证明2、令得证。其余作为练习。共同证明2、令得证。其余作为练习。20举例：例1.倍角关系：1、求cos3j和sin3j的单角表示形式。解：由cos3j+isin3j=ei3j=(eij)3=(cosj+isinj)3

=(cos3j-3cosjsin2j)+i(3cos2jsinj-sin3j)比较实部和虚部得：举例：例1.倍角关系：解：由cos3j+isin3j=e21例1.2：求cos4j和sin4j的单角表示形式。(自作）解：由cos4j+isin4j=ei4j=(eij)4=(cosj+isinj)4

=(cos4j-6cos2jsin2j+sin4j)+i(4cos3jsinj-4cosjsin3j)得：例1.2：求cos4j和sin4j的单角表示形式。(自作）解22例2.几何意义

1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。解：令z=x+iy，则|z-i|≤2代表以（0，1）为圆心，以2为半径的圆及其内部。1oxy例2.几何意义

1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。解：23例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。解：令z=x+iy，则|z-i|=|z-2|代表斜率为2截距为-1.5的直线，即(0,1)-(2,0)线段的垂直平分线。12-1.5推广：|z-a|=|z-b|例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。解：令z24例3：复数化简(下面a,b为实数)1、化简cos(a+ib)解法一：例3：复数化简(下面a,b为实数)1、化简cos(a+ib25解法二：三角函数的和差角公式对复数仍成立(见下节)2、化简ia+ib解：作业：P5：1(3,8),2（4,6），3（1,3,7）例：二维矩阵运算（略）解法二：三角函数的和差角公式对复数仍成立(见下节)2、化简i26§1.2复变函数一、定义：w=f(z),z∈E。二、概念1、z0点的邻域：2、内点z1、外点z2和境界点z3（见图1）3、区域二要素：内点组成；具有连通性（图2）4、闭区域：含境界线单连通复连通非区域图2z2z3z1境界线图1E§1.2复变函数一、定义：w=f(z),z∈E。二、概念27三、基本复变函数指数：ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)=ez+i2p(多对一）对数：lnz=ln(|z|eiArgz

)=ln|z|+iArgz（一对多）三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i),cosz=(eiz+e-iz)/2双曲：sinhz=(ez-e-z)/2,coshz=(ez+e-z)/2说明：1.三角函数具有实周期2p，其模可大于1；证明：cosz=(eiz+e-iz)/2

=[cosx(e-y+ey)+i(e-y-ey)sinx]从而|cosz|=[(e-2y+e2y)+2(cos2x-sin2x)]1/2可大于1。2.指数和双曲函数具有纯虚数周期2pi。3.对数复变函数值不唯一（多值函数）。4.令z=iz，则siniz=(e-z-ez)/(2i)=isinhz,

cosiz=(e-z+ez)/2=coshz。三、基本复变函数指数：ez=ex+iy=ex(cosy28四、初等函数例题例、（上节例3.2）化简ia+ib解：利用指数函数的换底公式得结果同前。四、初等函数例题例、（上节例3.2）化简ia+ib解：利用指29五、复变函数与实变函数的联系（补充实变函数性质）复变函数可归结为一对实变函数记为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)；因此实变函数的许多结论可移植到复变函数。极限：limz→z0

f(z)=A定义：当0<|z-z0|<d时，总有|f(z)-A|<e。点连续：f(z)在z0邻域内有定义，且存在极限limz→z0

f(z)=f(z0)。4.区域连续：当f(z)在区域B中的每一点都连续。作业：P9：2（1，3，5，9）、3五、复变函数与实变函数的联系（补充实变函数性质）复变函数可归30§1.3复数导数一、可导定义：若单值函数f(z)=w在定义域B上某点z

处存在极限limΔz→0

[f(z+Δz)-f(z)]/Δz，且极限与Δz→0的方式无关，则称f(z)在z点可导，极限记为f‘(z)或df/dz。可微定义：若Δw=f(z+Δz)-f(z)可写成

Δw=A(z)Δz+ρ(Δz),其中limΔz→0

ρ

(Δz)/Δz为0，则称f(z)在z点可微，其微分dw=A(z)dz，其中规定dz=Δz。§1.3复数导数一、可导定义：若单值函数f(z)=31二、C-R方程？1、证明：因f(z)可导，则Δz沿任何方向趋于0时极限都相等，即当

Δz=iΔy→0时(沿y轴方向)，其极限：f‘(z)/Δz=iΔy=ǝf

/iǝy=limΔy→0{[u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}/iΔy=ǝv/ǝy-iǝu/ǝy。而，当

Δz=Δx→0时(沿x轴方向)，极限：

f‘(z)/Δz=Δx=ǝf

/ǝx=ǝu/ǝx+iǝv/ǝx。沿两个方向的极限应相等，即得此二式便称为Cauchy-Riemann方程（也叫C-R条件）。二、C-R方程？1、证明：因f(z)可导，则Δz沿任何方32重要说明：C-R条件是可导的必要但不充分条件。例如：函数在z=0处：同样，令Δf/Δz在一、三象限极限为：而在二、四象限为二者不等，即不可导。即z=0处C-R条件成立。在一、三象限在二、四象限重要说明：C-R条件是可导的必要但不充