概率之随机变量的分布函数

概率之随机变量的分布函数第1页，课件共70页，创作于2023年2月定义设是一个随机变量，称为的分布函数，有时记作或注：1.若将看作数轴上随机点的坐标，则分布函数的值就表示落在区间的概率；()*2.对任意实数随机点落在区间的概率一、分布函数的概念第2页，课件共70页，创作于2023年2月2.对任意实数随机点落在区间的概率3.随机变量的分布函数是一个普通的函数，它完整地描述了随机变量的统计规律性.通过它，人们就可以利用数学分析的方法机变量.来全面研究随第3页，课件共70页，创作于2023年2月解例3.1设的分布律为求

的分布函数由分布函数的定义有问特点？离散型随机变量的分布函数为单调、右连续的阶梯函数第4页，课件共70页，创作于2023年2月证明二、分布函数的性质第5页，课件共70页，创作于2023年2月证明第6页，课件共70页，创作于2023年2月即任一分布函数处处右连续.所以第7页，课件共70页，创作于2023年2月怎样利用分布函数计算概率问？分析：问怎样计算概率为常数？分析：若在处连续，则一个有趣的现象由于分布函数是一个普通的函数，所以可以应用微积分工具来研究随机现象第8页，课件共70页，创作于2023年2月因此分布律为解则三、例题讲解例1第9页，课件共70页，创作于2023年2月求分布函数第10页，课件共70页，创作于2023年2月第11页，课件共70页，创作于2023年2月第12页，课件共70页，创作于2023年2月第13页，课件共70页，创作于2023年2月解例2第14页，课件共70页，创作于2023年2月第15页，课件共70页，创作于2023年2月第16页，课件共70页，创作于2023年2月请同学们思考不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?答不一定.例如抛均匀硬币,令第17页，课件共70页，创作于2023年2月设

r.v.

X的分布函数：计算解例3.2第18页，课件共70页，创作于2023年2月第19页，课件共70页，创作于2023年2月

若随机变量X的可能取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或即离散随机变量及分布函数第20页，课件共70页，创作于2023年2月

F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.其中.

第21页，课件共70页，创作于2023年2月解

设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.令X表示例3.3第22页，课件共70页，创作于2023年2月•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk

012340.60.240.0960.03840.0256代入第23页，课件共70页，创作于2023年2月•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o第24页，课件共70页，创作于2023年2月用分布律或分布函数来计算事件的概率

在上例中,分别用分布律与分布函数计算解或此式应理解为极限例3.4第25页，课件共70页，创作于2023年2月X解

一个半径为2米的圆盘靶子,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,且射击都能中靶,记表示弹着点与圆心的距离.求

的分布函数.显然当时故若由题意有为常数若由题意有,故即的分布函数为结果分析：当时存在,令

其它

则

称这样的随机变量为连续型随机变量END问？分析：处处连续,故怎样理解这一结论？例3.4第26页，课件共70页，创作于2023年2月X

一个半径为2米的圆盘靶子,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,且射击都能中靶,记表示弹着点与圆心的距离.求

的分布函数.例其中其它

由本章§3的例求得r.vX的分布函数是这是一种特殊类型的随机变量第27页，课件共70页，创作于2023年2月定义若的分布函数能够表为其中则称

为,非负可积函数称为连续型r.v概率密度函数(简称为密度函数、密度).例设的分布函数为求的密度函数.解即有的密度函数为只有有限个点处不可导连续型r.v分布函数是连续函数,且是绝对连续函数①②离散型r.v非离散型r.v连续型r.v奇异型r.vr.v的基本类型奇异型r.v是人为构造的r.v只讨论现实中广泛存在的这两种类型？能表为可积函数上限积分的连续函数§2.4连续型随机变量第28页，课件共70页，创作于2023年2月密度函数的性质①②③有④在的连续点处有①②是密度函数的本质特征？,几何意义如下图形在x轴上方，下方图形面积为1③的几何意义等于曲边梯形面积④设

是的连续点,由上述性质有则当充分小时，有注解：近似于小矩形面积第29页，课件共70页，创作于2023年2月解例4.1计算概率设

的密度函数为①②①确定常数并求

的分布函数②的分布函数是第30页，课件共70页，创作于2023年2月设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有例4.2解方程组得解第31页，课件共70页，创作于2023年2月设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质例4.3第32页，课件共70页，创作于2023年2月某电子元件的寿命（单位：小时）是以解：设：A={某元件在使用的前150小时内需要更换}例4.4为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验．B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}第33页，课件共70页，创作于2023年2月练习第34页，课件共70页，创作于2023年2月第35页，课件共70页，创作于2023年2月第36页，课件共70页，创作于2023年2月设为使f(x)成为某r.v.

X在解

由d.f.系数a,b,c必须且只需满足何条件？当有最小值上的例4.5第37页，课件共70页，创作于2023年2月另外由当且仅当时得所以系数a,b,c必须且只需满足下列条件可省略第38页，课件共70页，创作于2023年2月问题设

为连续型

为任意常数,问？分析有

注对于连续型r.v有问题设

为连续型

为任意常数,则那么是否是不可能事件？注意分布函数一定连续第39页，课件共70页，创作于2023年2月几种重要的连续型随机变量（一）均匀分布如果的密度函数为则称服从区间上的记为均匀分布①②注故的确是密度函数的图形③有即

落在中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即

在区间上“等可能取值”问若为常数,则？其它第40页，课件共70页，创作于2023年2月分布函数第41页，课件共70页，创作于2023年2月三段木棒能构成

将长度为2l的木棒任意截为两段,求这两段木棒与另一长度为

l

的木棒能构成三角形的概率.设截下的两段木棒长度分别故三段木棒能构成△的概率为均匀分布的实际背景解则例4.6第42页，课件共70页，创作于2023年2月

假定在运算中，数据只保留到小数点后第五位,而小数点第五位以后的数字按四舍五入处理.记表示真值，记表示舍入后的值，则误差

在用计算机进行数值运算时,由于字长的限制，数据都只保留到一定位数，而最后一位数字按四舍五入处理.通常舍入误差服从均匀分布定点计算中的舍入误差例第43页，课件共70页，创作于2023年2月某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，

X～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位例4.7第44页，课件共70页，创作于2023年2月为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，第45页，课件共70页，创作于2023年2月例4.8第46页，课件共70页，创作于2023年2月

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3的次数”,解即A={X>3}.例4.9第47页，课件共70页，创作于2023年2月因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则第48页，课件共70页，创作于2023年2月如果随机变量X

的密度函数为（二）指数分布第49页，课件共70页，创作于2023年2月的图形下方面积为1越大曲线越平当时,当时,其图象为：第50页，课件共70页，创作于2023年2月问题question例指数分布通常用来描述“寿命”的分布电子元件的寿命；生物的寿命；电话的通话时间；机器的修理时间；营业员为顾客提供的服务时间；······指数分布广泛应用于可靠性理论和排队论指数分布密度函数参数的意义λ指数分布实际背景de为什么各种“寿命”服从指数分布？中参数表示平均寿命称为失效率第51页，课件共70页，创作于2023年2月例4.8令：B={等待时间为10-20分钟}第52页，课件共70页，创作于2023年2月指数分布的重要性质--无记忆性如果已知寿命长于年,则再活年的可能性与年龄无关！即指数分布是“永远年青”的!sts说明什么？设考虑概率第53页，课件共70页，创作于2023年2月指数分布与泊松分布的关系时间轴在泊松流中,记时间间隔中出现的质点数为其中参数称为泊松强度则即有记

表示第一个质点出现的时间，则即

的分布函数为第54页，课件共70页，创作于2023年2月（三）正态分布如果的密度函数为其中参数则称服从参数为的正态分布

,记为正态分布密度函数的性质①②故确是密度函数第55页，课件共70页，创作于2023年2月正态分布密度函数的性质④③,即关于对称当时当时在处取极大值⑤即曲线以

轴为渐近线

关于对称中间高，两头低样子像座“山”当参数发生变化时,曲线会发生怎样的变化?问,图形向右平移,形状不变小大大小,图形向左平移,形状不变小大,图形变平坦大小,图形变尖锐第56页，课件共70页，创作于2023年2月自然界许多指标都服从或近似服从正态分布

成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等例一个班的某门课程的考试成绩例海浪的高度例一个地区的日耗电量例各种测量的误差例炮弹弹着点例一个地区的家庭年收入例正态分布实际背景de第57页，课件共70页，创作于2023年2月服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫“正态”分布正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态

(normal)”的分布.

正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时的到的，故正态分布也称为高斯分布.人物介绍高斯问题？问题？第58页，课件共70页，创作于2023年2月Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678这是什么曲线?高尔顿钉板试验第59页，课件共70页，创作于2023年2月其概率密度和分布函数分别为可查附表2求的值特别当

时,称为标准正态分布,记为第60页，课件共70页，创作于2023年2月之间的关系证引理若则的分布函数为令第61页，课件共70页，创作于2023年2月例4.9第62页，课件共70页，创作于2023年2月例4.10第63页，课件共70页，创作于2023年2月例4.11第64页，课件共70页，创作于2023年2月0第65页，课件共70页，创作于2023年2月⑴在70分钟内,走路线

I

及时赶到的概率为故在这种情况下应该走第二条路线.解从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间⑴若有70分钟时间可用,问应走哪条路线?⑵若只有65分钟时间可用,问又应走哪条路线？例走路线

II

及时赶到的概率为⑵在65