北京第十五中学分校高二数学文期末试题含解析

北京第十五中学分校高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线经过原点与点（-1，-1），则它的倾斜角是__________ A.45° B.135° C.45°或135° D.0°参考答案：A2.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：

文化程度与月收入列表

单位：人

月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105

由上表中数据计算得=6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”(

)A．1％

B．99％

C．2.5％

D．97.5％参考答案：D3.设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=4，ax+by+cz=2，则(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：柯西不等式．专题：计算题；推理和证明．分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．解答： 解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=4，ax+by+cz=2，∴（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2中等号成立，∴一定有：，∴=．故选：C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．4.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，点P在线段B1D1上，的方向为正（主）视方向，当AP最短时，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】在中，根据最短距离得到，确定的位置，在得到左视图.【详解】在中：当最短时，最短即在中通过长度关系知道P靠近B1：左视图为B故答案选B【点睛】本题考查了最短距离，三视图，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.如图1，将一个实心小球放入玻璃杯（不计厚度）中，已知玻璃杯的侧面可以看成由图2的曲线绕y轴旋转一周所形成，若要求小球接触到玻璃杯底部O，则小球的最大半径为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D绘制截面图如图所示，设圆的方程为，与联立可得：，当时有：，构造函数，原问题等价于函数y=r与函数g(x)至多只有一个交点，且：，据此可知：函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为：.则r的最大值为,即小球的最大半径为.本题选择D选项.

7.为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．8.设变量满足约束条件则目标函数

的最大值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知x0，若x＋的值最小，则x为（

）.A．81

B．9

C．3

D．16

参考答案：B略10.在棱长为1的正方体ABCD—中，若点P是棱上一点，则满足＋的点P的个数为（

）ks5u4

6

8

12参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式

……照此规律，第个等式为

参考答案：略12.如图1，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________.参考答案：13.已知x，y∈R，若（x+2）i﹣2=（5x+2y）i﹣2，则2x+y=

．参考答案：1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等即可得出．【解答】解：∵（x+2）i﹣2=（5x+2y）i﹣2，∴x+2=5x+2y，化为：4x+2y=2，则2x+y=1．故答案为：1．14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,若，则cosA=

参考答案：15.设随机变量服从正态分布,若,则=

．参考答案：216.观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n≥3，n∈N*时，=．参考答案：（﹣）×略17.已知向量，若，则的最小值为

.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆，（Ⅰ）若直线过定点(1，0)，且与圆相切，求的方程；(Ⅱ)若圆的半径为3，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．参考答案：（Ⅰ）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．②若直线斜率存在，设直线为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即

解之得．所求直线方程是，．（Ⅱ）依题意设，又已知圆的圆心，

由两圆外切，可知∴可知＝，解得，∴

，∴所求圆的方程为

．略19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|?|PF2|的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）由题意定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，再由基本不等式求得|PF1|?|PF2|的最大值．【解答】解：（1）由题意，得，解得．∴椭圆C的方程是；（2）∵P在椭圆上运动，∴|PF1|+|PF2|=2a=4，∴|PF1|?|PF2|≤，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，∴|PF1|?|PF2|的最大值为4．20.(本小题满分12分)一次数学模拟考试,共12道选择题,每题5分,共计60分,每道题有四个可供选择的答案,仅有一个是正确的.学生甲只能确定其中10道题的正确答案,其余2道题完全靠猜测回答.学生甲所在班级共有40人,此次考试选择题得分情况统计表如下:得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%

现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析.（1）应抽取多少张选择题得60分的试卷?（2）求学生甲得60分的概率；（3）若学生甲选择题得60分,求他的试卷被抽到的概率.参考答案：（1）得60分的人数为40×10%=4.设抽取x张选择题得60分的试卷,则，x=2,故应抽取2张选择题得60分的试卷…4分（2）其余两道题每道题答对的概率为，两道同时答对的概率为，所以学生甲得60分的概率为。…8分（3）设学生甲的试卷为a1,另三名得60分的同学的试卷为a2,a3,a4,所有抽取60分试卷的方法为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共6种,其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种,故小张的试卷被抽到的概率为P=…………12分21.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn2﹣（3n2+3n﹣2）Sn﹣3（n2+n）=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）由可得，n=1时，，又S1=a1，可得a1．由可得，，n∈N*，可得：，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．可得an．（2）由（1）可得，利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）由可得，n=1时，，又S1=a1，所以a1=3．由可得，，n∈N*，又an＞0，所以Sn＞0，∴，当n≥2时，，由（1）可知，此式对n=1也成立，∴an=3n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）可