15.3互斥事件与独立事件（原卷版）

互斥事件与独立事件痔知识梳理一、互斥与对立事件1、互斥事件的定义在一次随机试验中，事件A与8不可能同时发生，这时，我们称A,8为互斥事件。2、概率的加法公式如果事件A,5互斥，那么事件A+3发生的概率，等于事件A,5分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B),这时概率满足的第三个基本性质。3、概率加法公式的推广如果事件4,4,,45wM〃〉2)中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件4,4,…,4两两互斥,则PGV4+…+4)=p(A)+p(4)+…+尸(4)4、对立事件若互斥事件A,C中必有一个发生，这时，我们称A,C为对立事件，记作E=4或。=区.对立事件A与N中必有一个发生，故A+入是必然事件。5、互斥事件与对立事件的关系区别(1)在一次试验中，两个互斥事件可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生；(2)互斥事件可能是两个事件，也可能是多个事件，而对立事件只能是两个事件。联系两个事件时对立事件，则它们一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件。6、随机事件概率的常用性质(1)P(A)=1-P(A);(2)当时，P(A)<P(B)；(3)当A,5不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)二、相互独立事件1、相互独立事件的定义般地，如果事件A是否发生不影响事件3发生的概率，那么称A,B为相互独立事件。2、相互独立事件的概率公式：A,5相互独立oP(AB)=P(A)P(5)3、重要结论(1)若A,8相互独立，则A与豆,A^B,N与否也都相互独立。(2)独立事件可以推广到〃个事件的情形(neN,n>2),即若事件A„A,-，4相互独立,那么P(A&4)=P(A)P(a)P(A)4、相互独立事件与互斥事件的关系A,B关系概率记法A,3互斥A,3相互独立至少一个发生P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)同日找生P(AB)0都不发生P(AB)1-[P(A)+P(B)]恰有一个发生P(AB+AB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)至多一个发生P(AB+AB+AB)11—P(A)P(5)'智常考题型题型1互斥事件与对立事件的判断题型2互斥事件与对立事件的概率计］互斥事件与

独立事件题型互斥事件与

独立事件题型3事件独立性的判断题型4相互独立事件的概率计算题型5相互独立事件概率的综合应用'等题型精析题型一互斥事件与对立事件的判断【例1】(2023•全国•高一专题练习)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数"事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件【变式MJ（2023・四川内江•统考三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B.事件”第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件【变式1-2］（2023•广西柳州•柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一本政治与都是数学 B.至少有一本政治与都是政治C.至少有一本政治与至少有一本数学 D.恰有1本政治与恰有2本政治【变式1-3】（2023春•广东江门•高一鹤山市第一中学校考阶段练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有1个黑球与都是黑球 B.至少有1个黑球与至少有1个红球C.至少有1个黑球与都是红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球题型二互斥事件与对立事件的概率计算［例2］（2023.全国•高一专题练习）围棋起源于中国,是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一.现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是【变式2-1】（2023.全国.高一专题练习）已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黄球的概率为，则摸出的球是黄球或白球的概率为（ ）A.0.7B,0.5C,0.3D.【变式2-2]（2023春♦全国•高一专题练习）若随机事件A,5互斥，A,B发生的概率均不等于。，且P（A）=2-〃，p（3）=4"5,则实数。的取值范围是（）【变式2-3]（2023.江苏.高一专题练习）某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个,一等奖10个，二等奖50个,其余均为不中奖.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,3,C,求：（1）事件A,B,。的概率；（2）1张奖券的中奖概率；（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.题型三事件独立性的判断[例3]（2022.高一课时练习）下列事件中a,B是相互独立事件的是（ ）A.一枚硬币掷两次，A="第一次为正面"，3="第二次为反面”B.袋中有2白，2黑的小球,不放回地摸两球，A=”第一次摸到白球，,3="第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A="出现点数为奇数"3=“出现点数为偶数”D.4="人能活至1」20岁”，5="人能活至1」50岁”【变式3-1】（2022春・福建福州•高一校考期末）抛掷一颗均匀骰子两次，£表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点"G表示事件”两次点数之和是91H表示事件“两次点数之和是10”，则（）A.E与G相互独立 B.£与“相互独立C.尸与G相互独立 D.G与〃相互独立【变式3-2]（2022.高一课时练习）（多选）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”；丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”；丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（ ）A.甲与丙不相互独立 B.甲与丁不相互独立C.乙与丙不相互独立 D.丙与丁不相互独立【变式3-3]（2022.高一单元测试）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为Q={123,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,3},C={1,2},则下列说法中错误的有（ ）A.A与3独立B.A与。独立C.B与。独立D.Ccfi题型四相互独立事件的概率计算[例4]（2023.全国.高一专题练习）出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是:，则他遇到红灯前127TOC\o"1-5"\h\z已经通过了两个交通岗的概率为（ ）127A， b— c—.24 *27 ,9【变式4-1】（2023•江苏♦高一专题练习）甲、乙、丙三名同学将参加2023年高考,根据高三年级半年来的各次测试数据显示，甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为g|和［设三人是否考135分以上相互独立，则这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上的概率为.【变式4-2】（2023春辽宁本溪•高一校考阶段练习）某中学的“信息”“足球”“摄影'三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为:，加，〃，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为5,至少通过一个社团考核的概率为巳,贝［］〃1+冏=（）【变式4-3］（2023・江苏•高一专题练习）（多选）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为..，则（ ）A.该棋手三盘三胜的概率为B.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为C.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为D.记该棋手连赢2盘为事件A,则当该棋手在第二盘与甲比赛P（力最大题型五相互独立事件概率的综合应用［例5］（2023春・全国•高一专题练习）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，甲乙两人的击互不影响，求：（1）甲乙同时射中目标的概率；（2）甲乙中至少有一人击中目标的概率.【变式5-1】（2023•江苏•高一专题练习）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设4="第一次出现奇数点"5=”两枚骰子点数之和为3的倍数"判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.(2)甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是，乙的中靶概率是，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.【变式5-2】(2023.江苏.高一专题练习)某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为，第二关、第三关的通过率均为，第四关的通过率为，四关全部通过可以获得一等奖(奖金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.(1)求甲未获得奖金的概率；(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率.【变式5-3](2023•江苏•高一专题练习)为普及消防安全知识,某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为：,|；在第二轮比赛中，甲、乙胜JJ出的概率分别为:，,，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(3)若甲、乙两