2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.复数2−i1−3i在复平面内对应点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若z=−1+3i，则zA.−1+3i B.−1−3i3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则A.3m−2n B.−2m+3n4.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c,b)，q=(b+a,c−a).若p//q，则角A.π6 B.π3 C.2π35.正方体的内切球和外接球的表面积之比为(

)A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：36.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是(

)A.162

B.82

C.7.下列各个图形中，异面直线的画法不妥的是(

)A. B.

C. D.8.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列说法正确的是(

)

①a//c，b//c⇒a//b；

②a//γ，b//γ⇒a//b；

③a//c，c//α⇒a//α；

④a//γ，a//α⇒α//γ；

⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α．A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤9.下列是基本事实的是(

)A.过三个点有且只有一个平面

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,−sinβ)，P3(A.|OP1|=|OP2| 11.在空间中，下列命题为真命题的是(

)A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行

B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直

C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直

D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(

)A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60°

C.EF与MN是异面直线 D.MN//平面ACD二、非选择题（52分）13.若e1,e2为平面内所有向量的一组基，且a=3e1−4e14.若1+2i是实系数方程x2+ax+b=0的一个根，则a⋅b=15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则16.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为______．

17.已知非零向量a，b夹角为θ，且a=(1,0)．

(1)当b=(−1,3)时，求θ；

(2)若θ=60°，且(18.△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC．

(1)求A；

19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．

(1)求异面直线BC与PD所成角的正切值；

(2)求证：CD⊥PE．20.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是A1D，BD的中点.(1)求证：平面A1BD//21.如图，正四棱锥P−ABCD的高PO=2，AB=3，AC∩BD=O，E为侧棱PC的中点．

(1)求证：PA//平面OBE；

(2)求三棱锥E−OBC的体积．22.如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC=BC=PA，求平面PAB与平面PCB所成二面角的大小．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．【解答】解：∵2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=2+6i−i−3i212+(−3

2.【答案】C

【解析】解：∵z=−1+3i，∴z⋅z−=|z|2=((−1)2+(3)23.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．

直接利用平面向量的线性运算可得12【解答】解：如图，

CD=CA+AD=CA+12DB=

4.【答案】C

【解析】解：∵p=(a+c,b)，q=(b+a,c−a)，p//q，

∴(c+a)(c−a)=b(b+a)，即c2−a2=b2+ab，

∴c2=a2+b2+ab，5.【答案】B

【解析】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．

a=2r内切球，r内切球=a2，3a=2r外接球，r外接球=3a2，

∴r内切球：r外接球6.【答案】B

【解析】解：在正方形O′A′B′C′中可得B′O′=2A′O′=22，

由斜二测画法可知BO=2B′O′=42，AO=A′O′=2，

且OA⊥OB，OA//BC，AB//CO，

所以四边形OABC为平行四边形，

所以SOABC=BO⋅AO=42×2=82．

故选：B．

7.【答案】C

【解析】解：观察四个选项，

A、C、D中都有明显地看出a，b暨不相交，又不平行，是异面直线，

在B中，给人的感觉是直线a，b虽然分别位于不同的平面α和β，

但是a，b分别与α与β的交线平行，由平行的传递性知a与b平行，所以a，b不是异面直线．

故C的画法不妥．

故选：C．

利用异面直线的定义求解．

本题考查异面直线画法正误的判断，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的定义．

8.【答案】A

【解析】解：a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，

对于①，由平行公理得：a//c，b//c⇒a//b，故①正确；

对于②，a//γ，b//γ⇒a与b相交、平行或异面，故②错误；

对于③，a//c，c//α⇒a//α或a⊂α，故③错误；

对于④，a//γ，a//α⇒α与γ相交或平行，故④错误；

对于⑤，由线面平行的判定定理得a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α，故⑤正确．

故选：A．

对于①，由平行公理得a//b；对于②，a与b相交、平行或异面；对于③，a//α或a⊂α；对于④，α与γ相交或平行；对于⑤，由线面平行的判定定理判断．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

9.【答案】BCD

【解析】解：对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；

对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；

对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确；

对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确．

故选：BCD．

根据基本事实判断即可．

本题考查命题真假的判断，考查平面的基本性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．

10.【答案】AC

【解析】解：A：OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,−sinβ)，所以|OP1|=cos2α+sin2α=1，|OP2|=(cosβ)2+(−sinβ)2=1，故|OP1|=|OP2|，正确；

B：AP1=(cosα−1,sinα)，AP2=(cosβ−1,−sinβ)，

所以|AP1|=(cosα−111.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行、垂直或相交，A错误；

对于B，若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面可以互相平行，B错误；

对于C，若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线可以与另外一个平面平行，C错误；

对于D，由直线与平面垂直的性质可得：若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确．

故选：D．

根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项是否正确，综合可得答案．

本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，注意直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．

12.【答案】ACD

【解析】解：如图所示，将平面图形还原为立体图形，

根据正方体的性质，知EF⊥MC，MC//AB，故AB⊥EF，A正确，B错误；

EF与MN是异面直线，C正确；

平面MNF//平面ACD，MN⊂平面MNF，MN//平面ACD，D正确．

故选：ACD．

将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质，可知MC//AB，AB⊥EF，A正确，B错误，由立体图形，知C正确，根据平面MNF//平面ACD得到D正确．

本题空间中直线与直线的位置关系以及线面平行问题，属于中档题．

13.【答案】−8

【解析】解：因为a,b不能作为一组基，

所以存在实数λ，使得a=λb，

即3e1−4e2=λ(6e1+ke2)，

则6λ=3，且kλ=−4，解得λ=1214.【答案】−12

【解析】解：∵1+2i是方程x2+ax+b=0的根，则1−2i也是方程的根，

∴(1+2i)(1−2i)=b，1+2i+1−2i=−a，

∴a，b的值为a=−2，b=6．

则a⋅b=−12．

故答案为：−12．

利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理即可求得a、b15.【答案】2【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．

由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，

∴12acsinB=3⇒

16.【答案】54π

【解析】解：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，

由题意知：R=r=3，圆柱的高为2R=6，

所以圆柱的体积为πr2×2R=π×9×6=54π．

故答案为：54π．

由题意知球的半径与圆柱底面圆半径相同，写出球的半径，得出圆柱的高，代入体积公式求解即可．17.【答案】解：(1)当b=(−1,3)时，

a⋅b=(−1)×1+0×3=−1，|b|=(−1)2+32=2，

cosθ=a⋅【解析】(1)根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解．

(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，将|a−2b|18.【答案】解：(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，

由正弦定理可得a2−b2−c2=bc，

即为b2+c2−a2=−bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，

由0<A<π，可得A=2π3；

(2)由题意可得a=3，

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角恒等变换和三角函数的性质，考查化简运算能力，属于中档题．

(1)运用正弦定理得到a2−b2−c2=bc，再利用余弦定理可得所求角；

(2)可设B=19.【答案】(1)解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴BC//AD

∴∠PDA为异面直线BC与PD所成角，

所以异面直线BC与PD所成角的正切值为45；

(2)证明：连接AC，

由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，

又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE，

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．

又PE⊂平面PAE，所以CD⊥PE．

【解析】本题考查了异面直线所成角的正切值，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题．

(1)利用BC//AD，得到∠PDA为异面直线BC与PD所成角的正切值；

(2)连接AC，求出其长度与AD相等，E为CD中点，得到CD与AE垂直，利用线面垂直的性质定理和判定定理得到证明．

20.【答案】(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D1//AD且A1D1=AD，

AD//BC且AD=BC，

所以A1D1//BC且A1D1=BC，

所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B//D1C，

又A1B⊄平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，

所以A1B//平面CB1D1，

又D1D//B1B且D1D=B1B，

所以四边形D1DBB1为平行四边形，

所以BD//B1D1，

【解析】(1)根据正方体的特征可证A1B//平面CB1D1，BD//平面CB1D1，从而根据面面平行的判定定理可证结论；

(2)根据中点可知EF//21.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=O，则O为AC的中点，

因为E为PC的中点，则OE//PA，

又PA⊄平面OBE，OE⊂平面OBE，

所以PA//平面OBE；

(2)在正四棱锥P−ABCD中，O为底面ABCD的中心，则PO⊥底面ABCD，

因为E为PC的中点，则点E到平面ABCD的距离为ℎ=12PO=1，

又S△OBC=1【解