高等数学（第五版）课件 第四章 导数的应用

函数的单调性函数单调性的判定

(1)(2)函数单调性的判定

函数单调性的判定哪些点可能是单调性的分界点？函数单调性的判定

列表例1判断函数

的单调.解：的定义域为

，则，

在

上单调递增，在

上单调递减.

令

，得驻点

，00习题讲解

令

，得驻点

，当

时，

不存在，例2确定函数

的单调区间.则，

在

上单调递增，在

上单调递减.0列表不存在习题讲解

解：的定义域为

，当

时，

，

在区间

上单调增加，故当

时

所以，当

时，例3证明：当

时，不等式

恒成立.证明：令习题讲解

THANKS！函数的极值函数的极值的定义函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。设函数

在

的某领域内有定义，若当

在

的领域内但不等于

时，恒有（1）

则称

是函数

的一个极大值；（2）

则称

是函数

的一个极小值；

定义：注意

1.函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值还小！

2.函数极值的概念是局部性的，它们与函数的最大值、最小值（以后函数在其定义域上的最大值与最小值统称为最值）不同。极值是相对于一个局部而言的，而最大值与最小值是就函数的定义域而言的。函数的极值的定义极值的必要条件y=x3但由右图可知，

不是它的极值点。定理（极值的必要条件）设函数

在点

处可导，且在点

处有极值，则必有

。

思考：极值点与驻点的关系?例如：求导得：当

时，不存在。极值的必要条件但是，由

的图像可以看出，是该函数的极大值，

是极大值点。极值的充分条件

定理

（极值的第一充分条件

）设函数

在点

的某去心领域内可导，在点

处，有

或

不存在。则：

(1)如果当

时，

，当

时，

，则

是

的极大值点，

是

的极大值；

(2)如果当

时，

，当

时，

，则

是

的极小值点，

是

的极小值；极值的充分条件求极值的步骤求连续函数

极值的步骤：1.确定函数

的定义域；4.用驻点和不可导点把

的定义域划分成若干个区间，考察每个区间内

的符号，按照定理判断各驻点及不可导点是否为极大值点、极小值点，并由极值点求出函数的极值。（最好通过列表判断）2.求导数

；3.求出函数的驻点及不可导点；习题讲解列表判断令

，解得驻点为

无导数不存在点。例1求函数

的极值。

的定义域为

，解：则，

时，

取得极大值10，

时，

取得极小值-22。00极大值10极小值-22列表判断

令

，得驻点

，

当

时，

不存在，习题讲解例2求函数

的极值。则，

时，

取得极大值0，

时，

取得极小值.0不存在极大值0极小值-1/2解：的定义域为

，定理

（极值的第二充分条件）设函数

在点

处二阶可导，且

，

极值的充分条件注意

若

，则用此定理无法判定

是否为函数的极值点，这时需用第一充分条件定理判定。（1）若

，那么

是极大值点；（2）若

，那么

是极小值点。函数的定义域为

，解：习题讲解求函数

的极值。例3令

，得驻点

函数无不可导点，而

，

由定理知，是函数的极小值点，且极小值，但当和时，由于

,此时不能用第二判定定理这两点是否能取得极值，要由第一判定定理来判定。

THANKS！函数在闭区间上的最值函数的最值

函数的最值

函数的最值

例1求函数

在

上的最大值和最小值。解：令

，解得驻点计算得比较各值，可得函数

在

上最大值是

最小值是习题讲解

例2求

在闭区间

上的最大值和最小值。解：令

，

得驻点因为

，比较这些值的大小，则函数的最大值为

，最小值为

。习题讲解

例3求

在闭区间

上的最大值和最小值。解：令

，得

的驻点为

，因为

，

比较这些值的大小，知函数的最大值为

，最小值为

。

习题讲解

求函数

在

上的最大值与最小值。例4解：令

，得驻点

，点

是不可导点，故

在

的最大值为

，

最小值为习题讲解

x0yxOy=f(x)x0yxOy=f(x)对于开区间上函数的最值，仅给出一种特殊情形：

设函数

在开区间

（可以是无限区间）内连续，并且有唯一的临界点

，如果

是极大值点，那么

就是

在

上的最大值；如果

是极小值点，那么

就是

在

上的最小值。函数的最值

THANKS！函数最值的应用

科学技术和生产实践中也常常会碰到最大、最小值问题，例如，在一定条件下，如何使“产量最高”、“成本最低”、“油耗最小”等等。函数的最值

例

1

某同学在上网时，通过下载一个文件对自家的网速进行简单的测量，假设下载量

与时间的函数关系为：

(KB)。试求

为何值，下载速度

最小。解：由题意得：则：令

，得

，它是唯一临界点，因此，

时，下载速度

最小。习题讲解

设在电路中，电源电动势为

（常数），内电阻为（常量）,问负债电阻多大时，输出功率

最大？例2由欧姆定律知，

，所以

，

要求输出的最大功率

，则只需求上述函数的最大值，所以令

，得

，依题意，在

内，功率

的最大值存在且唯一，因此，当

时

，功率最大。

由电学知，消耗在负载电阻R上的功率(为回路中的电流）解：习题讲解

例3问题归结为：求

为何值时，函数

在区间

内取得最大值。设截去的小正文形的边长为

，铁盒的容积为

，据题意有：解：习题讲解

解：令

，求得在

内函数的驻点为

，

习题讲解

例3

设工厂到铁路线的垂直距离为20千米，垂足为B，铁路线上距离B为100千米处有一原料供应站C，如图所示。现在要从铁路BC中间某处D修建一个车站，再由车站D向工厂修一条公路，问D应选在何处才能使得从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3：5。例4由于铁路每千米货物运费与公路每千米货运费之比为3:5。因此，不妨设铁路上3，则公路上为5

，并设从C到A点，需要的总运费为

，

设

，则

，解：习题讲解

令

，则

为函数

在其定义域内的唯一驻点，故知

在

处取得最小值，即D应选在距B为

处，运费最省。解：由题意得：则：

设工厂到铁路线的垂直距离为20千米，垂足为B，铁路线上距离B为100千米处有一原料供应站C，如图所示。现在要从铁路BC中间某处D修建一个车站，再由车站D向工厂修一条公路，问D应选在何处才能使得从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3：5。例4习题讲解

函数的最值

在求函数的最大（小）值时，若在一个区间（有限或无限）内连续函数

只有唯一的一个驻点或不可导的点,那么，当

是

的极大（小）值时，

必定也是

在该区间的最大（小）值。在实际问题中若能根据问题的实际意义，断定所讨论的函数在定义区间内必存在最大（小）值，并且此时函数在相应区间内仅有一个驻点或不可导点，则可以断言在该点处函数必取得最大（小）值。THANKS！曲线的凹凸性

前面我们讨论了函数的的单调性和极值，这对研究函数的上升与下降规律和函数的其它特性很有好处，但这对研究函数变化规律还不够，为了准确描绘函数的图形，我们还应知道它的弯曲方向及不同弯曲方向的分界点。这一节我们将利用导数来专门研究曲线的弯曲方向（即凹向）与弯曲方向的分界点（即拐点）。曲线的凹凸性

对勾函数

对勾函数：是一种类似于反比例函数的一种双曲函数，是形如

的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、“对号函数”等。常见的是特殊形式，即

的形式。由中学所学可知

该函数在区间

上单调递减，但是单调递减的方式有很多，该函数在

上是以哪一种方式递减的？数学上怎么样来限定该种形式呢？引例研究函数

和函数

在区间

内的弯曲方向。

它们在区间

内都是单调增加的，但是它们的弯曲方向是不一样的，如图所示。而且如果作出这两条曲线的切线，还可以发现

上任何一点的切线总在曲线下方，而

上任何一点的切线总在曲线上方。因此我们引入新的定义来描述这些图像及该种特性的异同。曲线的凹凸性

图一图二

定义

若曲线弧位于其上每一点处切线的上方，则称此曲线弧是上凹的或凹的，如右图一就是上凹的，若曲线弧位于其上每一点处切线的下方，则称此曲线弧是下凹的或凸的，如右图当中的图二。一、曲线凹凸性的定义曲线的凹凸性

二、曲线凹凸的判定定理曲线的凹凸性

定理

设函数

在

上连续，在

内二阶可导。（1）若在

内，

，则曲线弧

在

上为凹的（上凹）的。(2)若在

内，，则曲线弧

在

上为凸（下凹）的。

（1）求函数的定义域和二阶导数；曲线的凹凸性

解：

求函数

的凹向区间。例1习题讲解

解：

例1

习题讲解

解：

解：

例2

例

3习题讲解

THANKS！曲线的拐点

拐点的定义曲线的拐点

定义

连续函数的上凹和下凹区间的分界点称为函数

的拐点.拐点处的切线必在拐点处穿过曲线，拐点不是拐弯儿的点.拐点的求法曲线的拐点

在拐点两侧，函数的二阶导数一定异号，而且分界点处，函数的二阶导数只能为零或不存在.

若

在点

连续，

或

不存在，又当

经过

时，

变号，则点

为曲线的一个拐点.求曲线的拐点的一般步骤：（1）求函数的定义域和二阶导数；曲线的拐点

（2）求出

的点和

不存在的点；（3）用这些点将

的定义域分成若干个子区间，在每个子区间上判断函数

的符号；（4）若

在函数某点两侧异号则该点为函数的拐点，否则不是.例1求曲线

的凹凸区间及拐点.解：函数的定义域为

，令

，得凹区间为

，

，凸区间为

，拐点为

和凹的凸的凹的拐点拐点习题讲解

例2求曲线

的拐点.解：函