极点极线配极原则

极点极线配极原则第1页，课件共21页，创作于2023年2月数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。

——引自：数学科学.技术与经济竞争力

第2页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则一、引入在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与配极有关.只讨论二阶曲线,总假定：非退化.设定义1

两点P,Q关于Γ共轭.(如图)

定理1

点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.

证明设P(pi),Q(qi).则PQ与Γ:S=0的交点M(pi+λqi)满足设其两根为λ1,

λ2.则交点为Mj(pi+λjqi),(j=1,2).于是(PQ,M1M2)=–1

λ1/λ2=–1

λ1+λ2=0

将qi改为流动坐标xi,得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0.第3页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则二、极点与极线定理1

点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.推论1两点P,Q关于Γ共轭

Spq=0.即注2.P在Γ上,则Spp=0,由推论1,Γ上的点关于Γ自共轭.注1.验证两点P,Q关于Γ共轭,只要验证上式.2.极点与极线定义2对于点P,若则称P关于Γ的共轭点轨迹p切线p为P关于Γ的极线,方程为Sp=0.反之,称P为直线p关于Γ的极点.注.由定义2及推论1,有定义2':相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点.1.问题提出第4页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则一、极点与极线

推论2平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一,方程为Sp=0.反之,平面上任一直线p关于Γ的极点存在唯一.

证明只要证后半.设直线u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求u关于Γ的极点.设P(pi)为其一个极点,由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0,从而u与Sp=0为同一直线,由此可以推知因为|aij|≠0,故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解,即u的极点P唯一存在.(*)表示直线u与它的极点P之间的关系,称为极点方程组.3.主要结论第5页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则二、极点与极线4.极点与极线的计算(1).已知P(pi),求极线,直接求Sp=0.

(2).已知u[ui],求极点,将[ui]代入(*),解出(pi).(注：在实际计算时,可取ρ=1,见教材)

注：(*)是一个非奇异线性变换,是由Γ:S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.定义3

相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线.注.利用Maclaurin定理及对偶原则,有:两直线p[pi],q[qi]关于Γ:S=0共轭

Tpq=0

根据推论2,可以对偶地给出下列定义第6页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则二、极点与极线对于点P(pi)关于Γ的极线(P关于Γ的共轭点的轨迹)方程：Sp=0.点P(pi),Q(qi)关于Γ共轭

直线u[ui]关于Γ的极点：下列极点方程组的解第7页，课件共21页，创作于2023年2月例1求点(1,-1,0)关于二阶曲线的极线?第8页，课件共21页，创作于2023年2月例2求直线关于的极点.(3,-1,-1)第9页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3极点、极线，配极原则三、配极变换1.配极变换定义4

称由决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ:S=0的配极变换.注1.任一非退化二阶曲线Γ都决定了平面上的一个配极变换.注2.配极变换是异素变换,是一个双射.

注.本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.

定理2(配极原则)点P关于Γ的极线p通过点Q

点Q关于Γ的极线q通过点P.

定理2'(配极原则)直线p关于Γ的极点P在直线q上直线q关于Γ的极点Q在直线p上.第10页，课件共21页，创作于2023年2月§4.3配极变换二、配极变换1.配极变换

推论1两点连线的极点为此二点极线的交点；两直线交点的极线为此二直线极点的连线.

推论2共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.

推论3关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得点列对应于线束,线束对应于点列；图形对应于其对偶图形.

推论4关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比.

因此,配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.综上：非退化二阶曲线Γ配极变换二维异素射影变换二维异素射影变换对偶变换从而配极原则特殊的对偶原则第11页，课件共21页，创作于2023年2月探索3一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点与对边何关系？结论：一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点第12页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3配极变换二、配极变换2.自极三点形(应用性极强的重要概念)

定义5若一个三点形关于Γ每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线),则称此三点形为关于Γ的一个自极三点形.

定理2

内接于非退化二阶曲线Γ的完全四点形的对边三点形是关于Γ的一个自极三点形.

注1.自极三点形的任一顶点不在Γ上.

注2.自极三点形恰有一个顶点在Γ的“内部”.

注3.自极三点形任意两顶点相互共轭;任意两边相互共轭.

例3.给定不在Γ上的一点P(pi),任求Γ的一个自极三点形PQR.

解.(i)求P(pi)的极线p：Sp=0.

(ii)在p上任取不属于Γ的一点Q(qi),求Q的极线q：Sq=0.

(iii)求p与q的交点R(ri),则PQR必为Γ的一个自极三点形.第13页，课件共21页，创作于2023年2月§5.3配极变换3.配极变换的基本应用(1).几何证明题灵活运用配极原则以及自极三点形等概念(2).极点极线作图

例4.已知非退化二阶曲线Γ及不在Γ上一点P,求作P关于Γ的极线p.

例5.已知非退化二阶曲线Γ以及一直线p,求作p关于Γ的极点P.

作法.在p上任取不在Γ上两相异点Q,R,利用上例,作Q,R关于Γ的极线q,r.则q×r=P.

例6.已知非退化二阶曲线Γ及Γ外一点P,过P求作Γ的两切线.

作法一.利用例4,设p交于E,F,连PE,PF即可.

作法二.如图.过P任作三割线,可得切线.一、极点与极线二、配极变换1.配极变换2.自极三点形第14页，课件共21页，创作于2023年2月课堂小结关键词：极线；极点；配极原则熟练用配极原则解决几何问题；熟悉配极原则和对偶原则的关系，并感受和发现数学美。第15页，课件共21页，创作于2023年2月作业布置作业册P115：3、4、5、6.课题拓展与应用：**利用配极原则设计初等几何命题；

第16页，课件共21页，创作于2023年2月文献推介白景华，配方法与配极变换法的联系，开封大学学报，1998，2；冯天祥，配极原则及其应用，重庆三峡学院学报，2002，4..王永兴，二次曲线极与极线理论的两个结果，渭南师专学报，1999，5.第17页，课件共21页，创作于2023年2月问题1:如何判定二点成共轭?探究1:两点关于某曲线成共轭,有何结论?问题2:一定点关于二阶曲线的调和共轭点是什么