解析函数的泰勒展式课件

§4.3解析函数的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式§4.3解析函数的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理1问题的引入前面我们证明了:一个收敛半径为正的幂级数，在其收敛圆内收敛于一个解析函数。

反之，是否成立？任一个解析函数能用幂级数来表示，即有下面我们证明其逆也真。问题的引入前面我们证明了:一个收敛半径为正的幂级数2(4.9)D定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数(4.8)其中系数且展式是唯一的.1、泰勒(Taylor)定理Ka(4.9)D定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内3K证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:(|u|<1).(4.10)总有一个圆周:

使点z含在中虚线表).由柯西积分公式得

azD图4.1的内部(图4.1

K证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:(|u|<1)4表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：(4.11)我们设法将被积式:由时,由于表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：(4.11)我5应用公式(4.10),我们有右端的级数在

上(关于)是一致收敛的.以上的有界函数相乘,仍然得到上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为上一致收敛级数应用公式(4.10),我们有右端的级数在上(关于6由定理3.13知最后得出其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.由定理3.13知最后得出其中的系数cn由公式(4.9)给出.7下面证明展式是唯一的.设另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,…),故展式是唯一的.注1定义4.6(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.下面证明展式是唯一的.由定理4.13(3)即知(n=0,1,8

注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式

定理4.15

f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.注（3）刻画解析函数的又一等价命题注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<9定理4.16如果幂级数的收敛半径R>0,且则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与f(z)恒等,而在C上处处解析.证假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况定理4.16如果幂级数的收敛半径R>0,且则f(z)在收敛10K/:|z-a|<R+ρ内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|<R中F(z)恒等于f(z),故在z=a处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数也是F(z)的泰勒级数而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.根据有限覆盖定理,我们就可以在这些圆O中选取有限个将圆O覆盖了.这有限个圆将构成一个区域G,用ρ>0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10aK/:|z-a|<R+ρ内是解析也是F(z)的泰勒级数而它的11注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.

(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其(2)这个定理12思考题p161:（1）与（2）思考题p161:（1）与（2）133、幂级数的运算(1).幂级数的有理运算3、幂级数的运算(1).幂级数的有理运算14(2).幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.(2).幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满15三、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例如，故有三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接16仿照上例,仿照上例,17例2

求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为

因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：其收敛半径1。从而例2求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式解：18附:常见函数的泰勒展开式附:常见函数的泰勒展开式19解析函数的泰勒展式ppt课件202.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.2.间接展开法:借助于一些已知函数的展21（1）利用已知级数求展式四、典型例题例1

（1）利用已知级数求展式四、典型例题例1

22例2解例2解23例3

解重要结论：几何级数例3解重要结论：几何级数24重要结论：几何级数例4重要结论：几何级数例425例5解（2）逐项求导法上式两边逐项求导,例5解（2）逐项求导法上式两边逐项求导,26例6解（3）逐项求积法例6解（3）逐项求积法27（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）例7（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）例728例7解即微分方程对微分方程逐次求导得:（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）例7解即微分方程对微分方程逐次求导得:（4）利用级数的乘法（29解析函数的泰勒展式ppt课件30五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展31一些初等函数的泰勒展式一些初等函数的泰勒展式32奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数33泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor泰勒资料Born:18Aug1685inEdmon34泰勒简介泰勒在数学上多产的时期．他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》(Linearperspective)都出版于1715年。它们的第2版分别出于1717和17