种群年龄结构的估算课件

种群年龄结构的估算上海交大数学科学学院数学实验种群年龄结构的估算上海交大数学科学学院数学实验1■建立种群年龄结构的数学模型－Leslie矩阵■矩阵的特征值和特征向量知识的回顾■Leslie矩阵有关性质的介绍和讨论■利用Matlab进行矩阵特征值和特征向量的运算实验目的■

进一步了解矩阵特征值在实际中的应用■建立种群年龄结构的数学模型－Leslie矩阵■2

一种昆虫每两周产卵一次，六周后死亡，孵化的幼虫2周后成熟平均产卵100个，4周龄的成虫平均平均产卵150个，设虫卵发育为2周龄成虫的概率为0.09，2周龄成虫发育为4周龄成虫的概率为0.2（1）假定开始时，0～2，2～4，4～6周龄昆虫数相同，计算2周，4周，6周，8周后各周龄的昆虫数（2）讨论各周龄昆虫数的变化趋势实际问题一种昆虫每两周产卵一次，六周后死亡，孵化的幼虫2周后成熟3（3）若使用一种除虫剂控制昆虫数，已知药剂将使各周龄该昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

这种昆虫在一个地区繁衍，其雌、雄数目之比基本恒定，讨论时可将虫数设为雌虫数

假设开始时三种周龄：C0:[0,2),C1:[2,4)C2:[4,6)的昆虫数均为一个单位情况假定（3）若使用一种除虫剂控制昆虫数，已知药剂将使各周龄该昆虫的4设

x0(t),x1(t),x2(t)分别为在t时刻周龄

C0,C1,C2的昆虫数，以2周为时间单位，那么引进矩阵数学模型设x0(t),x1(t),x2(t)分别为在t时刻周龄5导出关系式投影矩阵显然在时刻2k

周(k

个时间单位)

2k

周后昆虫数导出关系式投影矩阵显然在时刻2k周(k个时间单位)6键入A=[0913.5;0.0900;00.20];X0=[111]';A*X0,A^2*X0,A^3*X0结果情况

2周后

22.50.090.2C0C1C2利用

Matlab看一看

4周后3.512.0250.018

6周后

18.4680.31590.405键入A=[0913.5;0.0900;00.7

可以用数值计算观察结果(作为练习)

理论分析昆虫数的趋势k越来越大时，X(k)=AkX(0)变化趋势如何？若A有特征值λ0,λ1,λ2,对应特征向量α0,α1,α2

线性无关，其中λ0的模严格大于其它特征值的模那么可表示X(0)=c0α0+c1α1+c2α2

AkX(0)=c0λ0kα0+c1λ1kα1+c2kλ2α2

可以用数值计算观察结果(作为练习)理论分析昆虫数的8

AkX(0)这意味着k充分大时，昆虫数记(s0,s1,s2

是α0的分量)各周龄昆虫数占昆虫总数之比趋于定值AkX(0)这意味着k充分大时，昆虫数记(s0,s19[v,d]=eig(A)Matlab实现求A的特征值和特征向量有最大模的特征值为

0

＝1.0234对应的特征向量

0＝

0.99600.09760.01710.90490.07960.0156归一化

[v,d]=eig(A)Matlab实现求A的特征值和特征102)最终各周龄的昆虫数成稳定的比例随着时间增长1)昆虫数成几何级数增长(

0

>1)(恰好是对应主特征值的特征向量各分量比例数)

结论分别所占比例：90.49%，7.96%，1.56%

经多少时间才能达到稳定的增长和结构比例？2)最终各周龄的昆虫数成稳定的比例随着时间增长1)昆虫数11

依然可以采取观察数值计算的结果的方法tX0X1X2∑q1q2q3011130.33330.33330.3333122.50000.09000.200022.79000.98730.00390.008823.51002.02500.01805.55300.63210.36470.00352318.46800.31590.405019.18890.96240.01650.022148.31061.66210.063210.03590.82810.16560.0063515.81200.74800.332416.89240.93600.04430.01971014.07631.32630.232715.63530.90030.08480.01491516.30441.42200.281418.00780.90540.07900.01562018.24071.60560.313320.15970.91480.07960.01552821.96401.93150.377424.27290.90490.07960.01552922.47931.97680.386324.84240.90490.07960.01563023.00602.02319.395425.42450.90490.07960.0156

在Matlab程序设定误差，计算到某步停止依然可以采取观察数值计算的结果的方法tX0X1X2∑q1q12由于昆虫成活率减半引起投影矩阵变化利用Matlab观察若使用除虫剂除虫剂的效果从第2周末到第20周末各周龄组昆虫数变化由于昆虫成活率减半引起投影矩阵变化利用Matlab观察若使13111.25000.87752.30850.51940.4941

10.04500.50620.03950.10390.023410.10000.00450.05060.00390.01040.1753

0.11580.05050.02880.01370.0222

0.00790.00520.00230.00130.0023

0.00220.00080.00050.0002

除虫剂对成虫组比较有效，但对幼虫C0

组效果偏慢

昆虫数越来越少(看看最大的特征值：0.5117)111.25000.87752.14一般模式某种群个体生存期分为年龄组为Ci:[i-1,i),i=1,2,…,n+1；xi(t)为t

时刻Ci组个体数,pi为Ci组到Ci＋1组个体成活率,Fi

为Ci

组物种生育幼体至Ci＋1组的成活数,显然Fi

与pi

均非负,pi>0(否则无Ci＋1组)，一般模式某种群个体生存期分为年龄组为Ci:[i-1,i),i15写为向量形式Leslie矩阵可得其中写为向量形式Leslie矩阵可得其中16回顾昆虫问题的讨论1）A是否有唯一模最大的正特征值λ0（严格2）A是否有n个线性无关的特征向量3）λ0是大于1还是小于1(决定种群的数量趋势)4）其它特征值与λ0比值（决定达到稳定状态的时间）主特征值）相应的特征向量是否有全正的分量几个关键性问题回顾昆虫问题的讨论1）A是否有唯一模最大的正特征值λ0（严17

有一个惟一正单重特征值

0

对应

0有分量全正的特征向量

0

对每个分量非负的向量

(0),存在正常数C:(在某些条件下，如有相邻Fi-1,Fi非零，

0是严格主特征值)这一性质使得种群结构稳定Leslie

矩阵的性质有一个惟一正单重特征值0对应0有分量全正的18蓝鲸的寿命一般为50年，若以两年为年龄段,矩阵过大，因12岁以上存活率相近,故作为一个年龄组(简化).这样分成7个年龄组：[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,50),

其投影矩阵为蓝鲸－简化模型蓝鲸的寿命一般为50年，若以两年为年龄段,矩阵过大，因12岁19利用Matlab求出A1的特征值和特征向量特征值1.09860.1997+0.5943i0.1997-0.5943i-0.4636-0.1852+0.3481i-0.1852-0.3481i0.1361严格主特征值

0各年龄组蓝鲸数与结构变化且可知：存在7个线性无关的特征向量，因此蓝鲸必定趋于稳定年龄结构利用Matlab求出A1的特征值和特征向量特征值1.020对应λ0的特征向量α00.54690.43310.34300.27170.21510.17040.4964各年龄组分布百分比22.08%17.49%13.85%10.97%8.69%6.88%20.04%对应λ0的特征向量α00.5469各年龄组分布百分比22.021某种野牛雌性、雄性种群各分成3个年龄组C0:牛犊；C1:小牛1－2岁；C2:成年牛2岁以上

牛犊成长为小牛的概率为0.6;小牛长为成年牛的概率为0.75；成年牛再存活一年的概率为0.95

每头母牛有同样生育力，平均每年生育0.42头雌牛犊、0.48头雄牛犊

初始时刻有100头母牛和20头公牛两性模型假定与问题某种野牛雌性、雄性种群各分成3个年龄组C0:牛犊；C1:小牛22问题

年龄结构分布以及达到此分布所需的时间(练习)以及达到此分布所需的时间2）考虑雌、雄牛的情况下其稳定的年龄分布事实上只要将雌、雄牛的各年龄组放在一起考虑即可1）在只考虑雌性牛情况下，讨论其稳定模型和解决问题年龄结构分布以及达到此分布所需的时间(练习)以及达到此23设雌、雄牛各年龄组的个体数表达为列向量那么导出即设雌、雄牛各年龄组的个体数表达为列向量那么导出即24

利用Matlab依然可得P特征值和对应特征向量0.9500001.1048-0.0774+0.4063i-0.0774-0.4063i严格主特征值0.22980.12480.60440.26260.14260.6907对应主特征值的特征向量11.26.129.412.86.933.6各年龄组分布百分比利用Matlab依然可得P特征值和对应特征向量025

经过多少时间达到稳定分布?PkZ(0)

C

0逐渐会达到稳定结构方法1约定迭代相邻两次归一化向量分量的最大差不超过某一值方法2考虑(

1/

0)k

的绝对值充分小，使得与理论分布值误差充分小(留作任务)经过多少时间达到稳定分布?PkZ(0)C0逐渐26如果野牛的生育率减少至原来的一半，试讨讨论其数量增加和稳定年龄结构的变化降低生育率的情况此时投影矩阵为如果野牛的生育率减少至原来的一半，试讨讨论其数量增加和稳定年270.9500001.0377