人教A版2023必修第一册4.1指数 同步练习含解析

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一、单选题

1．设函数，则满足的x的取值范围是

A．B．C．D．

2．设，且，则（）

A．B．10C．20D．100

3．（）

A．2B．C．D．

4．已知，则（）

A．120B．210C．336D．504

5．下列说法正确的个数是（）

（1）49的平方根为7；（2）＝a(a≥0)；

（3）；（4）．

A．1B．2

C．3D．4

6．若，则等于（）

A．B．C．D．

7．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

8．的值为（）

A．﹣2B．2C．﹣4D．4

9．已知函数，满足，则（）

A．B．C．D．

10．若，，则的值为（）

A．7B．10C．12D．34

11．下列运算正确的是（）

A．B．

C．D．

12．若，，，，则，，的大小关系为（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．已知，则________．

14．若实数、满足，则的值为_______.

15．的分数指数幂表示为____________

16．若，则__________.

三、解答题

17．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．

18．（1）设a＞0，化简：；

（2）若x＋x＝，求的值．

19．设函数.

（1）若，求的值.

（2）若，求函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设，在上的最小值为，求.

20．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝

方法二：＝＝＝＝

（1）请用两种不同的方法化简：；

（2）化简：.

21．已知a，b，c均为正数，且，求证：；

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．D

分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

【详解】

2．A

根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.

【详解】

由，可得，，

由换底公式得，，

所以，

又因为，可得．

故选：A.

3．B

根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果.

【详解】

.

故选：B

4．C

首先变形条件等式，求得，再计算结果.

【详解】

，得，解得：，

所以.

故选：C

5．A

（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为；（4）符号错误

【详解】

49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；，（3）错；，(4)错，正确个数为1个，

故选：A

6．C

根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.

【详解】

原式，

，，，

原式．

故选：C

本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.

7．B

根据根式的意义逐个分析判断即可

【详解】

根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义；

当时，，此时④无意义．

因为，所以恒有意义，

因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义，

所以恒有意义的式子是①③．

故选：B．

8．B

利用指数幂的运算性质可得计算结果.

【详解】

解：.

故选：B．

9．D

由二次函数的对称性求出，即可求出.

【详解】

因为函数满足，所以对称轴为，即.

所以.

故选：D

10．C

根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.

【详解】

因为，，所以，

故选：C

11．C

根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.

【详解】

对于A，，故A错.

对于B，，故B错.

对于C，，故C正确.

对于D，，故D错误.

故选：C.

本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.

12．A

根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.

【详解】

因为在上单调递减，所以，即，

又因为在上单调递增，所以，即，

所以，

故选：A.

本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.

13．

先求得，然后求得.

【详解】

依题意，

所以.

故答案为：

14．1

将条件变形为，然后由两个非负数之和为0，则这两个非负数均为0，然后求出a,b,最后求得答案.

【详解】

由题意，，所以，则.

故答案为：1.

15．

本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.

【详解】

，

故答案为：.

16．

将目标式分子、分母转化为含已知条件的代数式，进而求值

【详解】

，易知

而

∴

又由

综上，有：

故答案为：

本题考查了利用指数幂运算化简求值，应用指数幂运算化简含形式的代数式并求值

17．a＝2，b＝5，c＝7.

【详解】

解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴.

同理，可得．.

∴，，

即，

又＝＋＋，a，b，c为正整数，

∴abc＝70＝2×5×7.

∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.

18．（1）；（2）.

（1）由幂的运算法则计算；

（2）由幂的运算法则计算（结合平方公式计算）．

【详解】

解：（1）原式＝＝a.

（2）若x＋x＝，

则x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，

故＝＝.

19．（1）47；（2）；（3）.

（1）由求得，再由，即可求解；

（2）由，得到，解得，即可求函数的解析式；

（3）由（2）得到，令，可得，结合指数函数与二次函数的性质即可求解.

【详解】

（1）由题意知，可得，可得，

又由，可得；

（2）由函数，且，可得，

整理得，解得或（舍去），

所以函数的解析式为；

（3）由（2）知，

可得，

令，可得，

又由函数为增函数，因为，所以，

当，当时，，即，解得，

当，当时，，解得，舍去.

综上可知.

本题考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质和二次函数的性质的综合应用，着重考查换元思想，以及推理运算能力.

20．（1）；（2）.

（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可.

【详解】

（1）方法一：原式＝＝；

方法二：原式＝＝