2021年益阳市初中学业水平考试试卷数学

2021年益阳市初中学业水平考试试卷数学一、选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.－2021的相反数等于()A.2021B.－2021C.eq\f(1,2021)D.－eq\f(1,2021)2.已知a≠0,下列运算正确的是()A.3a－2a＝1B.3a·2a＝6aC.a3÷a2＝aD.(2a)3＝6a33.将eq\r(\f(45,2))化为最简二次根式，其结果是()A.eq\f(\r(45),2)B.eq\f(\r(90),2)C.eq\f(9\r(10),2)D.eq\f(3\r(10),2)4.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3①,2x－3y＝4②))时，若将①－②可得()A.－2y＝－1B.－2y＝1C.4y＝1D.4y＝－15.正比例函数y＝2x与反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象或性质的共有特征之一是()A.函数值y随x的增大而增大B.图象在第一、三象限都有分布C.图象与坐标轴有交点D.图象经过点(2，1)6.以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是()7.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于()A.40°B.30°C.20°D.15°INCLUDEPICTURE"21益阳SX正3.TIF"第7题图第8题图8.如图，在△ABC中，AC>BC，分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N,连接BN，下列结论正确的是()A.AN＝NCB.AN＝BNC.MN＝eq\f(1,2)BCD.BN平分∠ABC9.小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天，如果某月(30天)正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为()A.140元B.160元C.176元D.182元10.如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动(不含端点),设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是()二、填空题(本题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上)11.若实数a的立方等于27,则a＝________．12.一元二次方程x2－3x＝0的解是________．13.已知x满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1,x－2≤0))，写出一个符合条件的x的值________．14.小李在双体日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是________．15.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…－2－101234…y…11a323611…由此判断，表中a＝________．16.如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝________度．INCLUDEPICTURE"21益阳SX正6.TIF"第16题图第17题图17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是________(限填序号)．18.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq\f(3,2)，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于________．第18题图三、解答题(本题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分8分)先化简，再求值：(1＋eq\f(3,a))·eq\f(2a,a2－9)，其中a＝2.20.(本小题满分8分)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．第20题图21.(本小题满分8分)如图，已知点A是一次函数y＝2x－4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．(1)求点A的坐标；(2)确定该反比例函数的表达式．第21题图22.(本小题满分10分)为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园，为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查(每人限填一项)，绘制成如下待完善的统计图表(综合类含舞蹈、太极拳等其他项目)：第22题图(1)本次被调查的居民人数是多少？(2)补全条形统计图；(3)若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．23.(本小题满分10分)“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量，如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔项D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高(精确到1米)．(参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)第23题图24.(本小题满分10分)为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长(沙)－益(阳)－常(德)高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的eq\f(13,30).(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7∶9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上(含3天)完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？25.(本小题满分12分)如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.(1)判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；(2)求证：①BD＝CF；②BD2＝DE2＋AE·EG.第25题图26.(本小题满分12分)已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x≤0），,x2（x>0）))的图象如图所示，点A(x1，y1)在第一象限内的函数图象上．(1)若点B(x2，y2)也在上述函数图象上，满足x2<x1.①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；②若|x2|＝|x1|，设w＝y1－y2，求w的最小值；(2)过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．2021年益阳市中考真题解析一、选择题1.A【解析】－2021的相反数是2021.2.C【解析】A.3a－2a＝a，此项错误，不符合题意；B.3a·2a＝6a2，此项错误，不符合题意；C.a3÷a2＝a，此项正确，符合题意；D.(2a)3＝8a3，此项错误，不符合题意．3.D【解析】原式＝eq\r(\f(9×5×2,2×2))＝eq\f(3\r(10),2).4.D【解析】①－②得2x＋y－(2x－3y)＝3－4，即4y＝－1.5.B【解析】A.正比例函数y＝2x，函数值y随x的增大而增大；反比例函数y＝eq\f(2,x)，在每一象限内，函数值y随x的增大而减小，则此项不符合题意；B.正比例函数y＝2x的图象在第一、三象限都有分布；反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；C.正比例函数y＝2x的图象与坐标轴的交点为原点；反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意；D.正比例函数y＝2x，当x＝2时，y＝4，即其图象经过点(2，4)，不经过点(2，1)，则此项不符题意．6.A【解析】A.不是中心对称图形，此项符合题意；B.是中心对称图形，此项不符合题意；C.是中心对称图形，此项不符合题意；D.是中心对称图形，此项不符合题意．7.C【解析】∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠DCA＋∠BAC＝180°，∴∠DCE＋∠ECA＋∠EAC＋∠EAB＝180°，∵∠DCE＝40°，∴40°＋60°＋60°＋∠EAB＝180°，∴∠EAB＝20°.8.B【解析】由题意可得，DE是线段AB的垂直平分线，则AN＝BN.9.C【解析】由题意得，当月正常上班的天数为30×80%＝24(天)，不能正常上班的天数为30－24＝6(天)，则当月小刘的日平均工资为eq\f(24×200＋6×80,30)＝176(元)．10.B【解析】如解图，过点P作PE⊥CD于点E，∵▱ABCD的面积为4，∴CD·PE＝4，∴△CPD的面积为eq\f(1,2)CD·PE＝2，∴x＋y＝4－2，即y＝－x＋2，∵点P在AB边上从左向右运动(不含端点)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,－x＋2>0))，解得0<x<2，则y关于x的函数图象大致是在0<x<2内的一条线段，且y随x的增大而减小．第10题解图二、填空题11.3【解析】由题意得，a＝eq\r(3,27)＝3.12.x1＝0，x2＝3【解析】由题意知，x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3.13.1(答案不唯一)【解析】令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1①,x－2≤0②))，解不等式②得x≤2，则不等式组的解集为－1<x≤2，因此，一个符合条件的x的值是1(答案不唯一)．14.eq\f(1,3)【解析】由题意得，小李随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具共有3种等可能的结果，其中，他选到锄头的结果只有1种，则他选到锄头的概率是eq\f(1,3).15.6【解析】由表格可知，x＝0和x＝2时的函数值相等，则二次函数的对称轴为直线x＝eq\f(0＋2,2)＝1，∴x＝－1和x＝3的函数值相等，即a＝6.16.60【解析】设∠AOC＝2x，∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝x，∵OC平分∠EOB，∴∠COB＝∠EOC＝x，又∵∠AOE＋∠EOC＋∠COB＝180°，∴x＋x＋x＝180°，解得x＝60°，即∠COB＝60°，由对顶角相等得∠AOD＝∠COB＝60°.17.①【解析】①AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)；②AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；③由平行四边形的性质可知，∠ABC＝∠ADC，则不能作为构成菱形的条件．18.9∶4【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,2)，由旋转的性质得AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′＝α，∴eq\f(AC,AC′)＝eq\f(AB,AB′)＝1，在△CAC′和△BAB′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AC′)＝\f(AB,AB′),∠CAC′＝∠BAB′))，∴△CAC′～△BAB′，∴eq\f(S△CAC′,S△BAB′)＝(eq\f(AC,AB))2＝eq\f(9,4)，即△CAC′与△BAB′的面积之比等于9∶4.三、解答题19.解：原式＝(eq\f(a,a)＋eq\f(3,a))·eq\f(2a,（a＋3）（a－3）)＝eq\f(a＋3,a)·eq\f(2a,（a＋3）（a－3）)＝eq\f(2,a－3)，将a＝2代入得，原式＝eq\f(2,a－3)＝eq\f(2,2－3)＝－2.20.解：∵四边形ABCD是矩形且AB＝6，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，∵在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，∴AC＝BD＝12.21.解：(1)对于一次函数y＝2x－4，当y＝0时，2x－4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标为(2，0)；(2)∵将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上，∴点B的坐标为B(2，2)，设该反比例函数的表达式为y＝eq\f(k,x)(k≠0)，将点B(2，2)代入，得k＝2×2＝4，则该反比例函数的表达式为y＝eq\f(4,x).22.解：(1)本次被调查的居民人数为120÷30%＝400(人)，答：本次被调查的居民人数是400人；(2)偏好球类运动的人数为400×25%＝100(人)，则补全条形统计图如解图；第22题解图(3)10000×80%×eq\f(40,400)×100%＝800(人)，答：周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数约为800人．23.解：在Rt△ABC中，AC＝AB·cos∠BAC＝50×cos13°，BC＝AB·sin∠BAC＝50×sin13°，在Rt△ACD中，CD＝AC·tan∠DAC＝50×cos13°×tan38°，则BD＝CD－BC＝50×cos13°×tan38°－50×sin13°≈50×0.97×0.78－50×0.22≈27(米)，答：宝塔BD的高约为27米．24.解：(1)设开通后的长益高铁的平均速度为x千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为eq\f(13,30)x千米/分钟，由题意得，60×eq\f(13,30)x－16x＝40，解得x＝4，则16×4＝64(千米)，60×eq\f(13,30)x＝60×eq\f(13,30)×4＝104(千米)，答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；(2)由题意得，甲工程队每天对其施工的长度为eq\f(7,7＋9)×eq\f(64,40)＝eq\f(7,10)(千米)，乙工程队每天对其施工的长度eq\f(9,7＋9)×eq\f(64,40)＝eq\f(9,10)(千米)，设甲工程队后期每天施工y千米，则(40－5－3)(y＋eq\f(9,10))≥64－(eq\f(7,10)＋eq\f(9,10))×5，解得y≥eq\f(17,20)，即y≥0.85，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米．25.(1)解：EA平分∠DEF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由圆周角定理得∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，由圆内接四边形的性质得∠ABC＋∠AEC＝180°，∵∠AEF＋∠AEC＝180°，∴∠AEF＝∠ABC，∴∠AED＝∠AEF，∴EA平分∠DEF；(2)证明：①∵EA平分∠DEF，BD⊥AC，AF⊥CE，∴AD＝AF，在Rt△ABD和Rt△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AF,AB＝AC))，∴Rt△ABD≌Rt△ACF(HL)，∴BD＝CF；②在Rt△AED和Rt△AEF，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AF,AE＝AE))，∴Rt△AED≌Rt△AEF(HL)，∴DE＝EF，由圆内接四边形的性质得∠ECB＋∠EAB＝180°，∵∠ECB＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠EAB，∵∠AED＝∠AEF，∠CEG＝∠AEF，∴∠CEG＝∠AEB，在△CEG和△AEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ECG＝∠EAB,∠CEG＝∠AEB))，∴△CEG∽△AEB，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(EG,EB)，∵BE＝BD＋DE，CE＝CF－EF＝BD－DE，∴eq\f(BD－DE,AE)＝eq\f(EG,BD＋DE)，∴BD2－DE2＝AE·EG，即BD2＝DE2＋AE·EG.26.解：(1)①对于二次函数y＝x2，在x>0内，y随x的增大而增大，∵x2<x1，x1>0，y2＝y1＝4，∴x2≤0，则当y1＝4时，xeq\o\al(2,1)＝4，解得x1＝2或x1＝－2<0(舍去)，当y2＝4时，－x2＝4，解得x2＝－4；②∵x2<x1，x1>0，|x2|＝|x1|，∴x2<0，－x2＝x1，∴y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－x2，则w＝y1－y2＝xeq\o\al(2,1)－(－x2)＝xeq\o\al(2,1)－x1，化成顶点式为w＝(x1－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，由二次函数的性质可知，在x1>0内，当x1＝eq\f(1,2)时，w取最小值，最小值为－eq\f(1,4)；(2)直线AQ′是与y轴交于某定点，设AP′与QQ′交于点B，根据题意画解图如下，第26题解图∵A(x1，y1)在已知函数的第一象限内的图象上，∴y1＝xeq\o\al(2,1)，即A(x1，xeq\o\al(2,1))，∵AP⊥y轴，AQ⊥x轴，点P关于x轴的对称点为P′，∴P(0，xeq\o\al(2,1))，P′(0，－xeq\o\al(2,1))，Q(x1，0)，设直线AP′的解析式为y＝k1x＋b1，将点A(x1，xeq\o\al(2,1))，P′(0，－xeq\o\al(2,1))代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1x1＋b1＝xeq\o\al(2,1),b1＝－xeq\o\al(2,1)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2x1,b1＝－xeq\o\al(2,1)))，则直线AP′的解析式为y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，∵Q关于直线AP′的对称点为Q′，∴QQ′⊥AP′，∴设直线QQ′的解析式为y＝－eq\f(1,2x1)x＋b2，将点Q(x1，0)代入，得－eq\f(1,2x1)x1＋b2＝0，解得b2＝eq\f(1,2)，则直线QQ′的解析式为y＝－eq\f(1,2x1)x＋eq\f(1,2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x1x－xeq\o\al(2,1),y＝－\f(1,2x1)x＋\f(1,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1（1＋