广东省汕尾市南塗中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析

广东省汕尾市南塗中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知中心在原点O，焦点在y轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线l交于A，B两点，若点C在椭圆内，的面积被x轴分成两部分，且与的面积之比为4:1，则面积的最大值为（）A．

B． C．

D．参考答案：A2.已知函数y=x3﹣ax在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（） A．（3，+∞） B． （﹣∞，0） C． （0，1） D． （0，3）参考答案：D3.数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （

） A． B． C． D．1－参考答案：B略4.定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x?f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3）参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=′=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）=xf（x）单调递减，显然g（2）＞g（3），则2f（2）＞3f（3），故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5.已知为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则等于（

）A．30°

B．45°

C.60°

D．90°参考答案：D设P为轴上方点其坐标为，，，则，，,故选D.6.抛物线x2=2y的焦点坐标为（）A． B． C．（0，1） D．（1，0）参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2=2y中，p=1，∴=，∵焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．7.设，，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.8.已知命题，则是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C略9.已知命题p：对于x∈R恒有2x+2﹣x≥2成立；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点，则下列结论正确的是（）A．p∧q为真 B．￢pⅤq为真 C．p∧（￢q）为真 D．￢q为假参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可判命题p为真命题，奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点，故q假，由复合命题的真假可得答案．【解答】解：由基本不等式可得，2x+2﹣x=，当且仅当，即x=0时，取等号，即对于x∈R恒有2x+2﹣x≥2成立，故命题p为真命题．奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点．如y=，为奇函数，但不过原点．故命题q为假命题，￢q为真命题．由复合命题的真假，可知，p∧q为假，￢pⅤq为假，故选项A、C、D都错误，只有C选为正确．故选C．【点评】本题为命题真假的判断，与基本不等式的集合，函数的奇偶性，正确把握其特点是解决问题的关键，属基础题．10.函数的部分图象是(

)A

B

C

D参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）182022加工时间y（分钟）273033现已求得如表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为分钟．参考答案：102【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本数据的中心坐标（，），代入回归直线方程，求出，得到回归直线方程，然后求解加工100个零件所需要的加工时间．【解答】解：由题意得：=（18+20+22）=20，=（27+30+33）=30，故=﹣=30﹣0.9×20=12，故=0.9x+12，x=100时：=102，故答案为：102．12.(文)抛物线y=x2+bx+c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是

．参考答案：略13.已知等差数列{}共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为_______.参考答案：2略14.=

。参考答案：略15.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切其中真命题为（写出所以真命题的序号）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】根据双曲线的定义，可判断①的真假；解方程求出方程的两根，根据椭圆和双曲线的简单性质，可判断②的真假；根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，求出它们的焦点坐标，可判断③的真假；设P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而PQ=AB，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切．【解答】解：A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x2﹣5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0），椭圆﹣y2=1的焦点坐标为（±，0），故③正确；设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，∵AP+BP=AM+BN∴PQ=AB，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确故正确的命题有：②③④故答案为：②③④【点评】本题④以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．16.等比数列中，若且，则的值为

．参考答案：略17.函数y=cos(x+)的最小正周期是

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题12分)求函数

的极值

参考答案：当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝略19.已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点，（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB取最小值时，求直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）由条件利用两点式求得直线l的方程．（2）当弦AB取最小值时，直线CP和直线l垂直，求得直线l的斜率，再利用点斜式求得直线l的方程．（3）当直线l的倾斜角为45°时，直线l的斜率为1，由点斜式求得l的方程，再求出圆心到直线l的距离d的值，根据弦长|AB|=2，计算求得结果．【解答】解：（1）由于圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为（1，0），半径r等于3，当直线l经过点C时，由两点式求得直线l的方程为=，化简可得2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB取最小值时，直线CP和直线l垂直，故直线l的斜率为==﹣，再利用点斜式求得直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，直线l的斜率为1，方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0，圆心到直线l的距离d==，∴弦长|AB|=2=2=．【点评】本题主要考查用两点式、点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．20.（本小题满分12分）已知椭圆的方程为：，其中，直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.参考答案：(1)设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是，

根据椭圆的定义得：，即，即，

又，，联立三式解得

所以椭圆的方程为：

(2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为

以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是

两圆心距为，所以两圆内切.

21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（2）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．故可得平面BDE⊥平面PBC．…22.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系；（2）在（1）的条件下求a的取值范围；（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角．【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的关系；（2）利用（1）的结论结合基本不等式求a的范围；（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角，结合直角三角形的余弦求之．【解答】解：（1）如图，连接AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．设，则CQ=a﹣t，在直角三角形MBQ中中，有AQ=．在Rt△CDQ中，有DQ=．

…（4分）在Rt△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a﹣t）2+4=a2，即t2﹣at+4=0．（2）由（1）得a=t+≥4．故a的取值范围