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文档简介
人教数学第六章图形的性质(二)第27讲几何作图要点梳理
1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2.基本作图(1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和﹑差;(2)作一个角等于已知角,以及角的和﹑差;(3)作角的平分线;(4)作线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线.要点梳理
3.利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形;(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边作直角三角形.要点梳理
4.与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);(2)作三角形的内切圆;(3)作圆的内接正方形和正六边形.要点梳理
5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6.作图的一般步骤(1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论.步骤(5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹.两种画图方法对于一个既不属于尺规基本作图,又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题,可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形,先把它作出来,再发展成整个图形,这种思考方法,称为三角形奠基法;也可以按求作图形的要求,一步一步地直接画出图形,这时,关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定,称为交会法.事实上,往往把三角形奠基法和交会法结合使用.三点注意(1)一般的几何作图,初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤,完成作图时,需要注意作图痕迹的保留,作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论.(2)根据已知条件作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案.(3)实际问题要理解题意,将实际问题转化为数学问题.六个步骤尺规作图的基本步骤:(1)已知:写出已知的线段和角,画出图形;(2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;(3)作法:应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹;(4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;(5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;(6)结论:对所作图形下结论.1.(2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(
)A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AASB2.(2013·曲靖)如图,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C,D为圆心,大于12CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是(
)
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.△COD是等腰三角形
C.C,D两点关于OE所在直线对称
D.O,E两点关于CD所在直线对称
D3.(2013·绍兴)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:甲:①作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点.②连接AB,AC.△ABC即为所求作的三角形.乙:①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求作的三角形.对于甲、乙两人的作法,可判断(
)A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确A4.(2012·济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是()A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角的两边距离相等A5.(2014·绍兴)用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若这样的三角形只能作一个,则a,b间满足的关系式是.画三角形
【例1】
(2013·鞍山)如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C=2∠B.(在指定作图区域作图,保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示:
【点评】
(1)作三角形包括:①已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;②已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;③已知三角形的三边,求作三角形;(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点;而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形.
1.已知:线段a(如图).求作:(1)△ABC,使AB=BC=CA=a;(2)作⊙O,使它内切于△ABC.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)解:画法略.
(1)如图①,△ABC是所求的三角形
(2)如图②,⊙O是所求的圆
应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例2】
(2014·怀化)两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部.(1)那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)(2)设AB的垂直平分线交ME于点N,且MN=2(3+1)km,在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向,在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向,求点C到公路ME的距离.
【点评】本题考查了尺规作图及解直角三角形的应用,正确的作出图形是解答本题的关键.2.(2014·玉林)如图,BC与CD重合,∠ABC=∠CDE=90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑),并直接写出旋转角度是.90°通过画图确定圆心【例3】
如图,已知AB︵.求作:(1)确定AB︵所在圆的圆心O;(2)过点A且与⊙O相切的直线.(要求用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
解:(1)在AB上取点C,连接AC,BC,画AC,BC的垂直平分线,交于点O
(2)连接OA,过点A画AT⊥OA
【点评】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”,在AB上另找一点C,分别画弦AC,BC的垂直平分线,交点即为圆心O.3.(2014,兰州)如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑).解:作出角平分线AD,作AD的中垂线交AC于点O,作出⊙O,∴⊙O为所求作的圆
试题尺规作图,已知顶角和底边上的高,求作等腰三角形.已知:∠α,线段a.求作:△ABC,使AB=AC,∠BAC=α,AD⊥BC于D,且AD=a.错解
如图,(1)作∠EAF=∠α;
(2)作AG平分∠EAF,并在AG上截取AD=a;
(3)过D画直线MN交AE,AF分别于C,B,△ABC为所求作的等腰三角形.
剖析上述画法考虑AD平分∠BAC,等腰三
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