2023学年完整公开课版聚焦中考14讲

人教数学第三章函数及其图象第14讲函数的应用要点梳理

1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．要点梳理

3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．

一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际；(2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为()A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米A2．(2014·赤峰)如图，一根长5米的竹杆AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹杆顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是()A3．(2014·漳州)世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿BCA︵回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是(

)

C4．(2014·兰州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()D5．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：

温度t/℃

－4

－2

0

1

4

植物高度增长量l/mm

41

49

49

46

25

科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为____℃.

－1

一次函数相关应用题【例1】

(2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．

解：(1)按优惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4)

(2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得

x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，当x＞24时，

y1＞y2，优惠方案②付款较少

【点评】

解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式；(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？

反比例函数相关应用题【例2】

(2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y＝360x，把y＝120代入y＝360x，得x＝3.把y＝180代入y＝360x，得x＝2，∴自变量的取值范围为2≤x≤3，∴y＝360x(2≤x≤3)

(2)设原计划平均每天运送土石方x万立方米，则实际平均每天运送土石方(x＋0.5)万立方米，根据题意得360x－360x＋0.5＝24，解得x＝2.5或x＝－3.经检验x＝2.5或x＝－3均为原方程的根，但x＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米

【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？解：(1)510－200＝310(元)

(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．

二次函数相关应用题

【例3】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M点的坐标为(12，0)，顶点P的坐标为(6，6)

(2)设抛物线为y＝a(x－6)2＋6，∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点

(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a＝－6，a＝－16.∴抛物线解析式为

y＝－16(x－6)2＋6＝－16x2＋2x

(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－16m2＋2m)，D(m，－16m2＋2m)．∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－16m2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m2＋2m)＝－13m2＋2m＋12＝－13(m－3)2＋15.∵a＝－13＜0.∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米

【点评】根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天)

1≤x＜50

50≤x≤90

售价(元/件)

x＋40

90

每天销量(件)

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000，综上所述：y＝îïíïì－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50）－120x＋12000（50≤x≤90）

(2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元

(3)当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)

函数的综合应用

【例4】

(2014·嘉兴)实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y＝kx(k＞0)刻画(如图所示)．

(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45，求k的值．(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．解：(1)①y＝－200x2＋400x＝－200(x－1)2＋200，∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升

②∵当x＝5时，y＝45，y＝kx(k＞0)，

∴k＝xy＝45×5＝225

(2)不能驾车上班．理由：∵晚上20：00到第二天早上

7：00，一共有11小时，∴将x＝11代入y＝225x，则

y＝22511＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班

【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．4．(2014·泰州)某研究所将某种材料加热到1000

℃时停止加热，并立即将材料分为A，B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x

min时，A，B两组材料的温度分别为yA

℃，yB

℃，yA，yB与x的函数关系式分别为yA＝kx＋b，yB＝14(x－60)2＋m(部分图象如图所示)，当x＝40时，两组材料的温度相同．

(1)分别求yA，yB关于x的函数关系式；

(2)当A组材料的温度降至120

℃时，B组材料的温度是多少？

(3)在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

解：(1)由题意可得出：yB＝14(x－60)2＋m经过(0，1000)，则

1000＝14(0－60)2＋m，解得m＝100，∴yB＝14(x－60)2＋100，当

x＝40时，yB＝14×(40－60)2＋100，解得yB＝200，yA＝kx＋b，

经过(0，1000)，(40，200)，则îïíïìb＝1000，40k＋b＝200，解得îïíïìb＝1000，k＝－20，

∴yA＝－20x＋1000

(2)当A组材料的温度降至120

℃时，120＝－20x＋1000，解得x＝44，当x＝44，yB＝14(44－60)2＋100＝164(℃)，∴B组材料的温度是164

℃

(3)当0＜x＜40时，yA－yB＝－20x＋1000－14(x－60)2－100＝－14x2＋10x＝－14(x－20)2＋100，∴当x＝20时，两组材料温差最大为100

℃

试题杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解

解：(1)由题意，得x＝1，y＝2；x＝2，y＝4，代入y＝ax2＋bx中，有îíìa＋b＝2，4a＋2b＝4，解得îíìa＝0，b＝2，故y＝