三重积分习题课课件

三重积分的轮换对称性:1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x积分域不变,则2.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则3.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变;当被积函数f(x,y,z)中x,y,z依次轮换，函数的形式不变;而f=f1+f2+f3,且x,y,z依次轮换时，f1，f2，f3依次轮换，则三重积分的轮换对称性:1.(两字母轮换)如果将x,y换为y其中为球面x2+y2+z2=1所围成的区域.例其中为球面x2+y2+z2=1所围成的区域.例例计算三重积分其中：0x1，0y1，0z1解错解解正确做法分析

积分区域和被积函数都具有轮换对称性?例计算三重积分其中：0x1，0y1，0zxzyoxyo1....xzyoxyo1....三重积分习题课重点：1.计算；2.应用

三重积分习题课重点：1.计算；2.应用上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分

“先一后二”（一）先投影，再确定上、下面上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区

x0z

yc1c2

.“先二后一”zDz

（二）截面法[c1,c2]:

向z轴的投影区间

Dz:

过z[c1,c2]且垂于z轴的平面截得到的截面

x0zyc1c2.“先二后一”zDz（二）截面法[c0xz

yM(x,y,z)M(r,

,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐标M(x,y,

z)

M(r,

,

z)

z=z..

二、利用柱面坐标计算三重积分0xzyM(x,y,z)zrP(x,y,0)xyzxz

y0

drrrd

d

z底面积：rdrd

元素区域由六个坐标面围成：半平面

及

+d

;

半径为r及

r+dr的圆柱面；

平面z及

z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素.dVxzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域0xz

yM(x,y,z)M(r,

,

)r

Pyxz.

..球面坐标

三、利用球面坐标计算三重积分0xzyM(x,y,z)rPyxz...球面坐标r

drd

xz

y0

d

rd

元素区域由六个坐标面围成：rsin

d

球面坐标下的体积元素.半平面

及

+d

；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面

及

+d

r2sin

drd

d

dVdV=rdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积

设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域

的立体的体积为:重积分在几何上的应用(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积曲面S的面积元素曲面S的面积公式(三)曲面的面积曲面S的面积元素曲面S的面积公式(三)曲面的面积(1)平面薄片的质心三、重积分在物理上的应用(一)质(重)心(1)平面薄片的质心三、重积分在物理上的应用(一)质(重)(2)空间物体的重心

设物体占有空间域

,有连续密度函数重心(2)空间物体的重心设物体占有空间域,有连续密度函数(1)平面薄片的转动惯量(二)转动惯量(1)平面薄片的转动惯量(二)转动惯量(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域

,有连续密度函数(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域,有设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m的质点A(a,b,c),求物体V对质点A的引力.(三)引力设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m于是引力F在三个坐标方向上的分量为其中G为万有引力系数，于是引力F在三个坐标方向上的分量为其中G为万有引力系数，例1

解利用球面坐标例题（画图）例1解利用球面坐标例题（画图）z

0xy1化为球系下的方程r=2

cos

.M.r

z0xy1化为球系下的方程r=2cos.M.rz=0y=0x=00yx

画图x0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成1...例2：x+2y+z=1DxyI=z=0y=0x=00yx画图x0zy11Dxyx0z

y11Dyz...例3：x+y+z=1I=

解

直接积分困难，考虑改变积分次序x0zy11Dyz...例3：x+y+z=1I例4

解例4解例5

解例5解例6

解0y

xDxy例6解0yxDxy解例7解例7法1

先二后一法1先二后一法2法2解例8计算其中

是由抛物面

和球面

所围成的空间闭区域.

解例8计算其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域.三重积分习题课ppt课件ayxzo例9ayxzo例9xyzoDS=D

:...例10xyzoDS=D:...例10...例10

解S=...例10解S=z=0yxzo球面坐标a...用哪种坐标？r=a.