一维应力波理论课件

北京理工大学材料学院材料动态力学概论AnIntrodutiontoDynamicBehaviorofMaterials1北京理工大学材料学院材料动态力学概论AnIntrodut材料动态力学概论2.一维应力波理论2材料动态力学概论2.一维应力波理论2应力波理论是研究材料动态力学行为的基本理论；是材料动态力学性能测试的基本原理。何时考虑应力波：1当载荷作用的时间与应力波传过物体特征尺寸的时间在同一数量级或更小时；2当研究材料瞬间或者局部破坏机理或过程时。不考虑波动考虑波动2

高速碰撞，爆炸2.1基本概念1锻造,挤压，轧制,机械加工3应力波理论是研究材料动态力学行为的基本理论；不考虑波动考虑波应力波的形成机制：

当外加载荷作用于可变形固体的某部分表面时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部分的介质质点离开了初始平衡位置。由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（产生变形），当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运动。依此类推，外载荷在表面上所引起的扰动就这样在介质中逐渐由近及远传播出去，从而形成了应力波。

1介质微元体之间的作用与反作用力；2微元体的惯性。2.1基本概念4应力波的形成机制：2.1基本概念4基本概念：应力波：扰动在固体中的传播，或固体中传播的波。波阵面：在介质中已扰动区域与未扰动区域之间的分界面。

扰动的传播波阵面的推进波传播的方向波阵面推进的方向波速：扰动信号在介质中的传播速度（或说波阵面在介质中推进的速度）

介质质点速度：介质质点的运动速度2.1基本概念5基本概念：扰动的传播波阵面的推进间断波波阵面(强间断、强扰动)：

波阵面前后介质的状态参量（如σ、v、ε）之间的差值为一有限值，波剖面发生了间断（突变）。数学上的定义对应于一阶奇异面，即位移u的一阶导数（如v、ε）发生间断的波阵面。其对应的波称为强间断波，冲击波即是强间断波。2.1基本概念

递增硬化材料中的塑性波由于高幅值扰动的传播速度大于低幅值扰动的传播速度，最终形成强间断波，通常被称为冲击波。6间断波波阵面(强间断、强扰动)：2.1基本概念连续波波阵面(弱间断、弱振动)：

波阵面前后的状态参量（σ、v、ε）之间的差值为无限小，波剖面是连续的。对应于数学上为二阶及更高阶奇异面。其对应的波称为连续波，其中二阶奇异面对应的波又称为加速度波（加速度为u的二阶导数）。2.1基本概念7连续波波阵面(弱间断、弱振动)：2.1基本概念7间断波和和连续波是两种在表现形式上完全不同的波，但是它们之间又相互联系，在应力波的传播过程中，间断波和连续波在一定条件下可以相互转化。2.1基本概念8间断波和和连续波是两种在表现形式上完全不同的波按传播方向分类：纵波、横波纵波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向一致（相同或相反）。（声波）横波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向相垂直。（水波）按波阵面形状分类：平面波、柱面波、球面波2.1基本概念9按传播方向分类：纵波、横波2.1基本概念9按加载的性质分类：加载波、卸载波加载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值增大的波。卸载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值减小的波。2.1基本概念10按加载的性质分类：加载波、卸载波2.1基本概念10按波本身的性质分类：压缩波、稀疏波、拉伸波压缩波：扰动传过之后使介质微团有被压密效果的波。稀疏波：扰动传过之后使介质微团有被稀疏效果的波。拉伸波：扰动传过之后使介质微团有被拉伸效果的波。其它波的概念：（入射波、反射波、透射波）（弥散波、汇聚波）（冲击波：是强间断、强扰动，是一种强烈的压缩波）2.1基本概念11按波本身的性质分类：压缩波、稀疏波、拉伸波压缩波：扰动传过之

连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的时间占有不同的空间位置。为了区别不同的质点，要对质点命名，为了描述质点所占据的空间位置，就需要一个参考的空间坐标系。2.2物质坐标和空间坐标12连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考

在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究介质的运动：Lagrange方法和Euler方法。相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般对应有两种坐标系：Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质流动来考察）和Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。

2.2物质坐标和空间坐标13在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研Lagrange描述（方法）：随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Lagrange描述（方法）。Euler描述（方法）：在固定的空间点上观察物质的运动，所研究的是在给定的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法）。2.2物质坐标和空间坐标14Lagrange描述（方法）：2.2物质坐标和空间坐标14Lagrange坐标：

为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这组数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐标）。Euler坐标：

为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler坐标（或空间坐标）2.2物质坐标和空间坐标15Lagrange坐标：2.2物质坐标和空间坐标15以长杆中一维运动为例：

X质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X质点任一时刻t在空间所占位置：x表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t所在的空间位置x

，即x是X和t的函数(2-2-1)如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说，在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间位置也只能有一个质点。2.2物质坐标和空间坐标16以长杆中一维运动为例：X质点命名（质点在参考时刻的空表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-2-1）式可反演为(2-2-2)即X是ｘ和t的函数。质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。（2-2-1）式和（2-2-2）式是描述一维长杆中介质运动的两种形式，二者是可是互换的。2.2物质坐标和空间坐标17表示法二：2.2物质坐标和空间坐标17

在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达为质点X和时间t的函数：Ψ=F(X,t)。自变量X即为Lagrange坐标（物质坐标）。

应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t的函数：Ψ=f(x,t)。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。

显然，对于同一物理量Ψ，有:

Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-2-3)2.2物质坐标和空间坐标18在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表

描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标来进行描述，二者还可以进行转换。

（1）物质坐标系中描述的物理量空间坐标系中描述的物理量由（2-2-2）、（2-2-3）式，

f(ｘ,t)

=F[X（ｘ,t）,t](2-2-4)

（2）空间坐标系中描述的物理量物质坐标系中描述的物理量由（2-2-1）、（2-2-3）式，有

F(X,t)

=f[ｘ（X,t）,t](2-2-5)2.2物质坐标和空间坐标19描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标来进三种微商：空间微商（Euler微商）、物质微商（Lagrange微商或随体微商）和随波微商。两个波速：空间波速（Euler波速）、物质波速（Lagrange波速）空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对时间的t变化率，即(2-3-1)物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X来观察物理量Ψ对时间t的变化率，即(2-3-2)2.3时间微商与波速20三种微商：2.3时间微商与波速20对于（2-3-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有上式中，是质点X的空间位置对时间的物质微商，也就是质点X的运动速度，即有：(2-3-3)(2-3-4)2.3时间微商与波速21对于（2-3-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有上式中，物理量Ψ为质点速度时，(2-3-4)式变为质点加速度的表达式：

(2-3-5)

(2-3-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显然在定常场中该项为零，第二项称为迁移变化率，在均匀场中该项为零。与此相对应，(2-3-5)式中，等式右边第一项通常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。2.3时间微商与波速22物理量Ψ为质点速度时，(2-3-4)式变为质点加速度的表达式物质波速（Lagrange波速）：

在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到质点X处，以

表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：(2-3-6)空间波速（Euler波速）：

在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则空间波速（Euler波速）可表示为：

(2-3-7)

2.3时间微商与波速23物质波速（Lagrange波速）：2.3时间微商与波速2物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度描述的是某一个质点的运动物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的描述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的，除非波阵面前方介质是静止且无变形的。2.3时间微商与波速24物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度描述的是某一随波微商：随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根据坐标系的不同，有两种表达式，即在空间坐标系中有:

(2-3-8)在物质坐标系中有：

(2-3-9)(2-3-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：

(2-3-10)2.3时间微商与波速25随波微商：2.3时间微商与波速25设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻该质点到达空间位置x，则位移为u，显有故有图2-2-1一维长杆中X与x的相互关系ε为工程应变。则(2-3-10)式可简化为：

(2-3-11)

此即为平面波传播时空间波速和物质波速之间的关系，由该式可以看出，只有当初始质点速度和初始应变为零时，平面波传播的空间波速和物质波速值相同。2.3时间微商与波速26设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻该质点到达2.4.1基本假定细长杆中应力纵波的控制方程是基于以下三个基本假设：（1）平截面假定，即假定杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有均布的轴向应力。

按照这一假定，杆中各运动参量（位移、质点速度、应力等）都只是X和t的函数，应力波传播的问题就简化为一维问题了。但是，这一假定只有在长杆的横向尺寸与应力波的波长相比很小时才近似成立。2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程272.4.1基本假定2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方

（2）忽略横向惯性效应，这一假定实际上与第一个假定密不可分，若要保持杆截面为平面，必须忽略杆中质点横向运动的惯性效应，即忽略杆中质点的横向膨胀或收缩对动能的贡献。质点的横向运动必然使得动能横向耗散，即减小X方向的动能，从而导致X方向应力波阵面的弯曲。如果忽略横向惯性效应，则和都等于零，因而处于单向应力状态，且因为无横向能量耗散，应力波阵面不会弯曲，保持平面状态。2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程28（2）忽略横向惯性效应，这一假定实际上与第一个假（3）应力只是应变的单值函数。对于应变率无关理论，材料的本构关系可写成（2-4-1）

这一假定似乎只有在弹性变形范围内（低应变率）才适用或对应变率不敏感的弹塑性材料近似可用。但考虑到冲击载荷下的应变率比准静态载荷下的要高很多量级，可以认为材料在某一应变率范围内近似具有唯一的动态应力应变关系，在形式上是应变率无关的，但与静态应力应变关系不同，因为它在一定意义上已考虑了应变率的影响。2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程29（3）应力只是应变的单值函数。2.4物质坐标描述的杆中纵波2.4.2控制方程组杆中纵波的控制方程（基本方程）包括：

位移连续方程或质量守恒方程——运动学条件；运动方程或动量守恒方程——动力学条件；能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）。2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程302.4.2控制方程组2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制（1）位移连续方程考察一维等截面均匀杆中微元体的纵向运动。如图2-4-1所示，取杆变形前（设t=0时）的质点的空间位置作为物质坐标，取杆轴为X轴，取一微元dX作为研究对象。杆的原始截面积为A0，原始密度为ρ0。在t=t1时刻微元的两个截面分别移动到空间位置x和x+dx，则X截面发生的位移为，且有：图2-4-1

2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程31（1）位移连续方程图2-4-12.4物质坐标描述的那么，根据位移连续条件，为连续函数，则有：两式相等，从而可得位移连续方程（或称ε和v的相容方程）：

（2-4-2）2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程32那么，根据位移连续条件，为连续函数，则有：

（2）动量守恒方程由图2-4-1，根据牛顿第二定律，作用在微元体两个截面上的作用力之差应等于微元体质量与加速度的乘积，即引入工程应力，代入上式，整理可得（2-4-3）此即动量守恒方程（或称σ和v的相容方程）。2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程33（2）动量守恒方程2.4物质坐标描述的杆中纵波的

（3）能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）由于应力波传播速度很高，在应力波通过微元体的时间内，微元体还来不及和邻近的微元体及周围介质交换热量，因而可视为绝热过程，这一过程遵守能量守恒关系。（2-4-1）式给出的材料的本构关系式实际上是绝热过程中得到的，故无需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-4-1）－（2-4-3）可以组成关于变量σ、ε和v的封闭的控制方程组：

（2-4-4）2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程34（3）能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）2.4描述一维杆中应力纵波传播的几个方程组：以ε和v为未知变量的控制方程组以σ和v为未知变量的控制方程组以u为未知变量的二阶偏微分方程2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程35描述一维杆中应力纵波传播的几个方程组：2.4物质坐标描述的（1）以ε和v为未知变量的控制方程组

连续可微，对于连续波波速（2-4-5）则

（2-4-6）代入（2-4-3）式可得

（2-4-7）

上式与位移连续方程（2-4-2）式就共同组成了以ε和v为未知变量的控制方程组，即（2-4-8）2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程弹性模量与波速之间的换算36（1）以ε和v为未知变量的控制方程组2.4物质坐标描述的杆波速的推导，广义波动方程介质中以速度V传播的任何形式的扰动2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程（F=ma）由绳子的波动推导的波动方程37波速的推导，广义波动方程2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制[举例]一维杆中弹性波的传播速度：由：2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程38[举例]一维杆中弹性波的传播速度：由：2.4物质坐标描述的弹性变形满足虎克定律结合波的微分方程：2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程39弹性变形满足虎克定律结合波的微分方程：2.4物质坐标描述的

（2）以σ和v为未知变量的控制方程组

由（2-4-6）式和（2-4-2）式可以得到

（2-4-9）

它与运动方程（2-4-3）式共同组成了以σ和v为未知变量的控制方程组，即（2-4-10）2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程40（2）以σ和v为未知变量的控制方程组2.4（3）以u为未知变量的二阶偏微分方程

由于ε和速度v都是位移u的一阶微商，即，

，代入（2-4-7）式，可得

（2-4-11）

该方程通常称为波动方程，描述了一维杆中应力纵波的传播规律。

2.4物质坐标描述的杆中纵波的控制方程41（3）以u为未知变量的二阶偏微分方程该方程通

控制方程组

波阵面参数σ、ε、v和u等

随X、t的变化规律。

但是由这些偏微分方程组获得解析解并不容易。对于一维波传播的基本方程组，除了弹性波是线性方程外，一般都是非线性的。因此大多数实际问题，往往只能用一些近似的数值方法求解。

特征线方法是解决波传播问题最为重要的方法之一，具有重要的应用价值，因为它是求解双典型线型偏微分方程的主要解法之一，可以把解两个自变量的偏微分方程问题转化为解特征线上的常微分方程问题。

2.5特征线与特征线上的相容关系422.5特征线与特征线上的相容关系42

何谓特征线，可用几种不同而又相互等价的方法定义。物理意义上：特征线是在（X-t）平面上扰动波阵面传播的轨迹。图中曲线上各点的斜率就是扰动波的传播速度，式中正负号分别对应于向右和向左的传播速度。

图2-4-1

2.5特征线与特征线上的相容关系43何谓特征线，可用几种不同而又相互等价的方法定义。

数学意义:

方向导数法：如果能把某二阶偏微分方程或等价的一阶偏微分方程组的线性组合化为只包含自变量平面上某一曲线Γ的方向导数的形式时，则曲线Γ即为该方程（或方程组）的特征线，而该曲线各点的斜率dX/dt称为该特征线的特征方向。

不定线法：如果对自变量平面（X，t）上某曲线Γ，由沿此曲线Γ上给定的初值连同偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话，则此曲线Γ称为特征线。2.5特征线与特征线上的相容关系44数学意义:2.5特征线与特征线上的相容关系用方向导数法和不定线法来定义特征线，分别从不同角度反映了特征线的某种性质，采用不同的方法所得到的特征线是相同的。控制方程特征线方程特征线上相容关系式特征线解法方向导数法不定线法2.5特征线与特征线上的相容关系45用方向导数法和不定线法来定义特征线，分别从不同角度反方向导数含义：

图2-4-1

在（X，t）平面内有一曲线Γ，函数f(X,t)在S方向上的方向导数定义为：

（2-5-1）

它可以给出在与曲线Γ相切方向上对S的变化率。其中S的方向即为：

（2-5-2）2.5特征线与特征线上的相容关系46方向导数含义：图2-4-1在（X，t）平面内有一例1：已知一维纵波的波动方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。(2-4-11)解：设在自变量平面（X，t）上有某曲线Γ（X，t），对于u的一阶偏导数v、ε，沿此曲线方向的微分分别为：(2-5-3)(2-5-4)2.5特征线与特征线上的相容关系47例1：已知一维纵波的波动方程，采用方向导数法求解一维纵波的特式中dX和dt是曲线Γ（X，t）上的微段dS在X，t两轴上的分量，即，是曲线Γ在（X，t）点上的斜率。如果曲线Γ是二阶偏微分方程(2-4-11)式的特征线，则(2-4-11)式能够化为只包含沿此曲线的方向微分。将(2-5-3)和(2-5-4)式进行线性组合，应与(2-4-11)式等价，即有(2-5-5)式中，λ为待定系数，比较(2-4-11)、(2-5-5)两式，两方程等价应满足：(2-5-6)2.5特征线与特征线上的相容关系48式中dX和dt是曲线Γ（X，t）上的微段dS在X，t两轴上的求解上